Działania na pierwiastkach

Działania na potęgach i pierwiastkach rządzą się podobnymi prawami, ponieważ z definicji potęgi o wykładniku wymiernym wynika, że \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\).

Wzory

Dla liczb naturalnych \(m\) i \(n\) oraz liczb rzeczywistych \(a\geq 0\) i \(b\geq 0\) prawdziwe są następujące wzory:

\( (\sqrt[n]{a})^n=a\)
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)
\( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\)
\( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\)
\( (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m} \)

Przykłady

Pierwiastek do potęgi n

Przykłady zastosowania pierwszego wzoru:

\((\sqrt[5]{77})^5=77\)

Powyższe wynika bezpośrednio z definicji pierwiastkowania jako działania odwrotnego do potęgowania.

Mnożenie pierwiastków

Przykłady zastosowania drugiego wzoru:

\(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\)

\( \sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{2}=2\sqrt[4]{2}\)

Dzielenie pierwiastków

Przykłady zastosowania trzeciego wzoru:

\(\sqrt[3]{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{3} \)

\( \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4} \)

Pierwiastek z pierwiastka

Przykłady zastosowania czwartego wzoru:

\(\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[4\cdot 3]{12}=\sqrt[12]{12}\)

\(\sqrt[4]{\sqrt{256}}=\sqrt[4\cdot 2]{256}=\sqrt[8]{256}=2\)

Potęgowanie pierwiastków

Przykłady zastosowania piątego wzoru:

\((\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25} \)

\( (\sqrt[4]{3})^3=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}\)

Pierwiastek a wartość bezwzględna

Dla każdej wartości a (a nie tylko dla dodatnich lub równych zero) pierwszy przytoczony tutaj wzór dla stopnia drugiego pierwiastka przyjmuje postać.

\(\sqrt{a^2}=|a|\)

Zatem dla \(a\geq 0\) mamy \(\sqrt{a^2}=|a|=a\), natomiast dla \(a<0\) mamy \(\sqrt{a^2}=|a|=-a\).

Dodawanie pierwiastków

Działania sumy i różnicy pierwiastków nie nie zostały wyżej przedstawione. Jest tak dlatego, że nie ma takich wzorów dla dowolnych pierwiastków. Ich dodawanie lub odejmowanie nie zawsze da się przedstawić w taki sposób, żeby otrzymać wynik w postaci liczby bez konieczności zaokrąglania wyniku.

Dodając do siebie pierwiastki, można posłużyć się poniższym algorytmem:

jeżeli jest to możliwe, wykonujemy pierwiastkowanie lub wyłączamy czynnik przed pierwiastek;
jeżeli mamy jako składniki sumy pierwiastki tego samego stopnia z tej samej liczby, możemy dodać do siebie pierwiastki zgodnie ze wzorem \(m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}\).

Na przykład:

\(\sqrt{44}+3\sqrt{11}=2\sqrt{11}+3\sqrt{11}=5\sqrt{11}\)

\(\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\)

W każdym innym przypadku pozostawiamy wynik w postaci sumy lub różnicy pierwiastków. Jest to dokładna reprezentacja liczby niewymiernej i nie ma potrzeby przedstawiać jej w inny sposób. Na przykład \(1+\sqrt{2}, \sqrt{3}-\sqrt{5}, 2\sqrt{2}-5\) pozostawiamy w takiej właśnie postaci.