Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna jest to funkcja w postaci:

\(y=\log_{a}x\)

gdzie \(a>0, a\neq 1\).

Przykłady

Przykłady funkcji logarytmicznej:

\(y=\log{x}\)
\(y=\ln{x}\)
\(y=\log_{2}{x}\)
\(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\)

Własności funkcji logarytmicznej

Dziedzina funkcji logarytmicznej. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich \(\mathbb{R}_+\).
Zbiór wartości funkcji logarytmicznej. Przeciwdziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
Monotoniczność funkcji logarytmicznej. Funkcja logarytmiczna jest rosnąca dla \(a>1\), malejąca, gdy \(0<a<1\).
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.
Funkcja logarytmiczna i funkcja wykładnicza są funkcjami odwrotnymi.
Funkcja eksponencjalna (funkcja ta jest zdefiniowana w artykule o funkcji wykładniczej) jest funkcją odwrotną do funkcji \(y=\ln{x}\).

W rozważaniach na temat logarytmów niezwykle ważne są wzory związane z wykonywaniem działań na logarytmach. Działania na logarytmach zostały omówione tutaj.

Wykres funkcji logarytmicznej

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Wykres funkcji logarytmicznej nosi nazwę krzywej logarytmicznej. Wykresy funkcji logarytmicznej różnią się znacznie w przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa lub mniejsza od jedności.

Przykłady

Sporządzić wykres funkcji \(y=\log_{2}{x},y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\).

Sporządzamy najpierw tabelkę zmienności tych funkcji:

\(x\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	1	2	4
\(y=\log_{2}{x}\)	-2	-1	0	1	2
\(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\)	2	1	0	-1	-2

Szkicujemy wykresy obu funkcji.

wykres funkcji logarytmicznej

Zauważ, że funkcja ta ma jedno miejsce zerowe \(x_0=1\).

Wykres Wykres funkcji logarytmicznej — symulacja

Poniższa symulacja pozwala zaobserwować zachowanie się wykresu funkcji logarytmicznej w zależności od wartości współczynnika a - podstawy logarytmu

Funkcja w postaci y = log_ax, czyli y =

a 1

Pytania

Jak wyznaczyć miejsce zerowe funkcji logarytmicznej?

Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji logarytmicznej sprowadza się do rozwiązania równania logarytmicznego \(\log_a{x}=0\). Rozwiązanie tego równania jest \(x_0=1\). O tym, w jaki sposób rozwiązujemy takie równania, piszemy w artykule: Równanie logarytmiczne.

Jaka jest dziedzina logarytmu naturalnego?

Dziedziną funkcji logarytmicznej \(y=\ln{x}\) jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich \(\mathbb{R}_+\).