Wzory trygonometryczne

W niniejszym artykule przedstawiamy podstawowe wzory trygonometryczne, o których często mówimy także tożsamości trygonometryczne.

Między funkcjami trygonometrycznymi kąta \(\alpha\) zachodzą następujące związki (tożsamości trygonometryczne):

Jedynka trygonometryczna

Dowód

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

\(a^2+b^2=c^2/:c^2\)

\( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}=1\)

(\(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1\)

\( \sin^2{\alpha}+ \cos^2{\alpha}=1\)

Jedynka trygonometryczna to jeden z najczęściej występujący wzorów w zadaniach z trygonometrii. Obok przedstawiamy dowód tej tożsamości trygonometrycznej.

\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)

Powyższy wzór nosi też inne nazwy:

wzór jednostkowy
jedność trygonometryczna
trygonometryczne twierdzenie Pitagorasa

Oto inne, bardzo często wykorzystywane w kursie matematyki wzory:

\(tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)

\(ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)

\(tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}\)

Sinus, cosinus, tangens i cotangens sumy kątów

Oto wzory na sinus sumy kątów, cosinus sumy kątów, tangens i cotangens sumy kątów:

\(\sin({\alpha+\beta})= \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\( \cos({\alpha+\beta}) = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

\( tg({\alpha+\beta}) = \frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\)

\( ctg({\alpha+\beta}) = \frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}-1}{ctg{\alpha}+ctg{\beta}}\)

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów

Oto wzory na sinus różnicy kątów, cosinus różnicy kątów, tangens i cotangens różnicy kątów:

\(\sin({\alpha-\beta})= \sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\cos({\alpha-\beta}) =\cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}\)

\( tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}\)

\(ctg({\alpha-\beta}) = \frac{ctg{\alpha}ctg{\beta} +1}{ctg{\alpha}-ctg{\beta}}\)

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

Wzory na sinus podwojonego kąta, cosinus podwojonego kąta i tangens podwojonego kąta:

\(\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}\)

\(\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\)

\(tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}\)

Funkcje potrojonego kąta

Wzory na sinus potrojonego kąta, cosinus potrojonego kąta:

\(\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\)

\(\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\)

Funkcje trygonometryczne połowy kąta — wzory połówkowe

Oto wzory połówkowe:

\(\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\)

\( \cos{\frac{\alpha}{2}} =\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}\)

\( tg{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}\)

\(tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} =\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\)

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Wzory na sumę sinusów, sumę cosinusów oraz różnicy sinusów i cosinusów są następujące:

\(\sin{\alpha}+\sin{\beta}= 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\sin{\alpha}-\sin{\beta}= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\( \cos{\alpha}+\cos{\beta}= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

A oto kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów trygonometrycznych:

Przykład 1

Wiadomo, że \(\sin{\alpha}=0,3\). Obliczyć \(\cos{\alpha}, tg{\alpha}, ctg{\alpha}\).

Wyznaczamy cosinus kąta, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)

\(\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\)

\(\cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\)

\(\cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-0,3^2}=\pm\sqrt{1-0,09}=\)

\(=\pm\sqrt{0,91}\approx\pm0,954\)

Wyznaczamy tangens kąta:

\(tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\approx\frac{0,3}{\pm0,954}\approx\pm 0,3145\)

Wyznaczamy cotangens kąta:

\(ctg{\alpha}=\frac{1}{tg{\alpha}}\approx\frac{1}{\pm0,3145}\approx \pm 3,1797\)

Przykład 2

Obliczyć \(\sin{75°}\).

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

\(\sin{75°}=\sin{(45°+30°)}=\sin{45^0}\cos{30°}+\cos{45°}\sin{30°}=\\ =\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\)

\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

Przykład 3

Obliczyć \(\cos{120°}\)

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\(\cos{120°}=\cos{(2\cdot 60°)}=\cos^2{60°}-\sin^2{60°}=\)

\(=(\frac{1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)

Przykład 4

Obliczyć \(\sin{120°}+\sin{60°}\)

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów kąta:

\(\sin{120°}+\sin{60°}=\)

\(=2\sin{\frac{120°+60°}{2}}\cos{\frac{120°-60°}{2}}=\)

\(=2\sin{90°}\cos{30°}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1\)

Pozostałe wzory

To nie jedyne wzory trygonometryczne. W osobnych artykułach omawiamy:

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.