Twierdzenie

Twierdzenie to zdanie logiczne, mające postać implikacji:

Z (założenie) ⇒ T (teza)

Poprzednik implikacji Z nazywamy założeniem twierdzenia i określa ono warunki, dla których dane twierdzenie jest spełnione, a następnik implikacji T — nazywamy tezą twierdzenia i jest istotną treścią wypowiadanego twierdzenia.

Uwaga! Zdarza się, że twierdzenie jest wypowiadane w postaci innej niż implikacja. Zawsze jednak można je przeredagować tak, aby przybrało postać implikacji.

Przykład

Twierdzenie:

Jeżeli liczba naturalna N jest podzielna przez dziesięć, to jest ona podzielna przez pięć.

W powyższym twierdzeniu:

Założenie: liczba naturalna N jest podzielna przez dziesięć.
Teza: liczba naturalna N jest podzielna przez pięć.

Aksjomat

Co to jest aksjomat?

Prawdziwość twierdzenia należy dowieść. Jednak część twierdzeń ma charakter twierdzeń pierwotnych, które z natury rzeczy nie mogą być dowiedzione. Takie twierdzenia nazywane są aksjomatami. Istnieją też twierdzenia, które przyjmuje się za prawdziwe mimo braku ich dowodu.

Przykłady

Przykłady aksjomatów:

Jeżeli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to punkty A, B, C są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej.
Dla dowolnych dwóch punktów A i B istnieje prosta a, zawierająca oba te punkty.
Jeżeli odcinek przecina dwie proste, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przecinają się po tej stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne.

Twierdzenie proste i odwrotne

Twierdzenie w postaci: Z ⇒ T nazywamy prostym, do którego twierdzenie odwrotne to twierdzenie w postaci: T ⇒ Z.

Twierdzenie przeciwne i przeciwstawne

Twierdzenie przeciwne to twierdzenie w postaci ~Z ⇒ ~T.

Twierdzenie przeciwstawne lub kontrapozycja to twierdzenie w postaci ~T ⇒ ~Z

Dowodzenie twierdzeń

Dowody twierdzeń można przeprowadzać na wiele sposobów. Wśród nich warto wymienić dowody wprost, nie wprost, indukcji zupełnej.

Dowód wprost polega na przyjęciu, że założenie twierdzenia jest prawdziwe i rozumowaniu tak długo, aż dojdzie się do wniosku, że teza twierdzenia jest prawdziwa.

Ponieważ twierdzenia proste i przeciwstawne mają tę samą wartość logiczną, dowód twierdzenia prostego można zastąpić jego kontrapozycją.

Dowód nie wprost polega na założeniu, że nie jest prawdziwa teza twierdzenia, a następnie poprzez odpowiednie rozumowanie dowodzi się sprzeczność z założeniem danego twierdzenia lub innymi twierdzeniami.

Przykład

Udowodnić, że jeżeli ułamek a/b jest nieskracalny (a i b są liczbami naturalnymi), to ułamek (b-a)/b jest także nieskracalny.

Założenie:

Liczby a, b — liczby naturalne oraz a/b jest ułamkiem nieskracalnym.

Teza:

(b-a)/b jest nieskracalny.

Stosujemy metodę dowodu nie wprost. Zgodnie z zasadami zakładamy, że teza nie jest prawdziwa, a więc, że ułamek (b-a)/b jest skracalny. Musimy więc dowieść sprzeczność założenia, czyli, że ułamek a/b jest skracalny.

Skoro ułamek (b-a)/b jest skracalny, to licznik i mianownik tego ułamka dzieli się przez taką samą liczbę m większą od 1. Wyniki dzielenia b-a i b przez tę liczbę są liczbami naturalnymi k i l:

(b-a)/m=k i b/m=l

Przekształcając oba równania, otrzymujemy:

b-a=mk i b=ml.

Odejmując od siebie oba równania, otrzymujemy (b-a)-b=mk-ml, czyli -a=m(k-l), mnożąc obie strony równania przez -1 otrzymujemy: a=m(l-k).

Oznaczając liczbę l-k przez n (jest to także liczba naturalna) dostajemy zależność: a=mn, czyli a/m=n.

Jak widać a/m=n i b/m=l, a więc ułamek a/b, jest skracalny przez m, co jest sprzeczne z założeniem.

Na tym kończymy dowód.

Często w dowodach twierdzeń stosuje się zasadę indukcji matematycznej (zupełnej). Będzie ona jednak stanowić osobny temat.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.