Arcus sinus — arcsin

Arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji \(y=\sin{x}\), określonej w przedziale \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

Funkcję tę oznaczamy następująco: \(y=arcsin{x}\), a zapis ten oznacza, że \(x=\sin{y}\) i \(y\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

Przykład

Obliczyć \(arcsin{\frac{1}{2}}\).

Aby wyznaczyć wskazaną wartość funkcji arcus sinus, wystarczy skorzystać z definicji i obliczyć równanie: \(\sin{y}=\frac{1}{2}\). Jest to równanie trygonometryczne elementarne, które ma nieskończenie wiele rozwiązań (\(y=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee \ y=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in \mathbb{Z}\)), my jednak musimy się ograniczyć do przedziału \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), mamy więc jedno rozwiązanie:

\(arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\).

Wykres funkcji arcsin

Aby wyznaczyć wykres funkcji \(y=arcsin{x}\), postępujemy zgodnie z definicją:

W układzie współrzędnych, gdzie oś \(y\) jest osią poziomą, a oś \(x\) osią pionową sporządzamy wykres funkcji \(x=\sin{y}\), ale jedynie w przedziale \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
Po obrocie w przestrzeni wokół dwusiecznej I i III ćwiartki i otrzymujemy wykres funkcji \(y=arcsin{x}\) w typowym układzie współrzędnych.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje cyklometryczne

Funkcja arcus cosinus arccos

Funkcja arcus tangens arctg

Funkcja arcus cotangens arcctg