Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod całkowania, bardzo często wykorzystywana w matematyce.

Wzór

Jeżeli funkcje \(u\) i \(v\) są funkcjami zmiennej \(x\) i posiadają ciągłą pochodną, to prawdziwy jest wzór:

\(\int{udv}=uv-\int{vdu}\)

Opisana metoda całkowania nosi nazwę całkowania przez części. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykłady

Na poniższym przykładzie krok po kroku pokazujemy jak stosować metodę całkowania przez części.

Obliczyć całkę \(A=\int{x^3\ln{x}dx}\).

Przyjmujemy, że:

\(u=\ln{x},\quad{}dv=x^3dx\)

Obliczamy pochodną funkcji \(u\) i wyznaczamy funkcję \(v\) (obliczając całkę):

\(du=\frac{1}{x}dx,\quad{}v=\int{x^3dx}=\frac{1}{4}x^4\)

Stosujemy wzór na całkowanie przez części:

\(A=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\int{\frac{1}{4}x^4\cdot{}\frac{1}{x}dx} =\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\int{x^3dx}= \ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{4}x^4+C =\frac{1}{4}x^4(\ln{x}-\frac{1}{4})+C\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Oblicz \(A=\int{x\cos{x}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć \(A=\int{(\ln{x})^3dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Całka nieoznaczona

Całkowanie przez podstawienie

Całka oznaczona

Całka nieoznaczona