Całkowanie przez podstawienie

Całki możemy rozwiązywać, stosując metodę przez podstawienie. Omówimy krok po kroku, jak wykorzystać tę metodę podczas całkowania.

Jeżeli \(x\in{\langle ;a;b\rangle;},\quad{}g(x)=u\) jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną i \(g(x)\in{\langle A;B\rangle}\), a funkcja \(f(u)\) jest ciągła w przedziale \(\langle A;B\rangle\), to:

\(\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}\)

Po scałkowaniu prawej strony należy w wyniku przedstawić \(u=g(x)\).

Mowa tu o całkowaniu przez podstawienie (zmianę zmiennej).

Przykład 1

Najlepiej metodę tę próbować zrozumieć przez przykłady. Oto przykładowe zadania wraz z rozwiązaniem.

Obliczyć całkę \(\int{\frac{2x}{x^2+2}}dx\).

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku. Pochodna mianownika ułamka daje dokładnie wartość licznika.

\((x^2+2)'=2x\)

Stosujemy więc podstawienie:

\(x^2+2=u\)

Obliczamy pochodną, stosując notację z użyciem literki „d” — \(dx\), co oznacza pochodną względem zmiennej \(x\)):

\(2xdx=du\)

Otrzymujemy więc:

\(\int{\frac{2x}{x^2+2}dx}=\int{\frac{2xdx}{x^2+2}} =\int{\frac{du}{u}}=\ln{|u|}+C=\ln{(x^2+2)}+C\)

Wartość bezwzględną można opuścić, ponieważ wyrażenie \(x^2+2\) jest dodatnie dla każdej wartości \(x\).

W naszym przypadku znaleźliśmy w funkcji podcałkowej dokładnie wartość pochodnej funkcji, za którą podstawialiśmy nową zmienną. Tak się rzadko zdarza. Jak w takim przypadku stosować podstawienie? Zobacz poniższy przykład:

Przykład 2

Obliczyć całkę \(\int{x^2(x^3+1)^3dx}\).

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia \((x^3+1)\) jest „prawie” równa pierwszemu czynnikowi.

\((x^3+1)'=3x^2\)

My mamy do czynienia z wartością \(x^2\). Dokonujemy więc przekształcenia:

\(\int{x^2(x^3+1)^3dx}=\int{\frac{1}{3}\cdot{3}x^2(x^3+1)^3dx}=\frac{1}{3}\int{3x^2(x^3+1)^3dx}\)

Stosujemy więc podstawienie:

\(x^3+1=u\)

Obliczamy pochodną, stosując notację z użyciem literki „d” — \(dx\), co oznacza pochodną względem zmiennej \(x\):

\(3x^2dx=du\)

Otrzymujemy więc:

\(\frac{1}{3}\int{3x^2(x^3+1)^3dx}=\frac{1}{3}\int{u^3du}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{12}(x^3+1)^4+C\)