Ciśnienie gazu doskonałego

Jeżeli przeanalizujemy zachowanie się cząsteczek gazu doskonałego w zamkniętym naczyniu, to możemy w dość prosty sposób wyprowadzić wzór na ciśnienie, jakie wywierają cząsteczki tego gazu na ścianki naczynia.

Można wykazać, że ciśnienie p wywierane przez gaz doskonały o N cząsteczkach o masie m zależy od kwadratu prędkości średniej cząsteczek gazu w naczyniu o objętości V:

$p=\frac{mN\overline{v}^2}{3V}$

Poniżej znajdziesz wyprowadzenie powyższego wzoru.

Symulacja

Poniżej znajduje się symulacja cząsteczek gazu zamkniętego w sześciennym, szczelnym pojemniku. Cząstki zderzają się ze sobą i ściankami naczynia sprężyście. Zmieniaj różne parametry układu i sprawdź, jak zmienia się ciśnienie. Po zmianie parametrów odczekaj chwilę, aż układ ustabilizuje się.

Spróbuj na podstawie powyższej symulacji odpowiedzieć na następujące pytania:

Czy ciśnienie zależy od prędkości cząsteczek gazu?
Czy ciśnienie zależy od masy cząsteczek gazu?
Czy ciśnienie zależy od wielkości naczynia?
Czy ciśnienie zależy od ilości gazu w naczyniu?
Czy ciśnienie zależy od gęstości gazu w naczyniu?

Spróbuj też narysować wykresy powyższych zależności przyjmując umowne jednostki. Będziesz mógł stwierdzić zależność wprost proporcjonalną, odwrotnie proporcjonalną lub inną.

Wyprowadzenie

Niech a oznacza długość krawędzi sześciennego naczynia z gazem, V - jego objętość, p - pęd pojedynczej cząstki gazu doskonałego, v - jej prędkość. Jeżeli obierzemy układ odniesienia w dolnym narożniku sześciennego pojemnika i przeanalizujemy ruch jednej cząstki wzdłuż osi x, to przy uderzeniu o ściankę naczynia składowa x prędkości zmieni znak po zderzeniu. Możemy wówczas obliczyć w następujący sposób zmianę pędu cząstki gazu:

Δp=p_{końcowy x}-p_{początkowy x}=-mv_x-mv_x= -2mv_x

Taki sam pęd z przeciwnym znakiem (czyli 2mv_x) uzyska ścianka naczynia. Jednocześnie prędkość cząsteczki, która przebywa drogą od ścianki do ścianki i z powrotem (między kolejnymi zderzeniami) wynosi v_x= 2a/Δt, skąd czas między zderzeniami wynosi Δt = 2a/v_x.

Zmiana pędu ścianki naczynia w jednostce czasu to zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona siła, jaka działa na tę ściankę:

F=Δp/Δt = 2mv_x/Δt = 2mv_x/( 2a/v_x) = mv_x²/a.

Obliczmy ciśnienie wywierane na ściankę przez tę jedną cząsteczkę gazu (jest to siła wywierana na powierzchnię ścianki bocznej o polu a²):

p₁ = F/a²= mv_x²/a³= mv_x²/V.

Jeżeli cząstek mamy N, to ciśnienie wywierane na badaną ściankę będzie sumą wszystkich ciśnień wywieranych na tę ściankę przez wszystkie cząsteczki:

p₁ + p₁ + ... + p_N= mv_1x²/V + mv_2x²/V + ... + mv_Nx²/V = m/V ( v_1x² + v_2x² + ... + v_Nx² )

Prawdopodobieństwo, że jedna cząsteczka z N cząstek ma prędkość v₁ wynosi 1/N.

Zatem:

v_x²= 1/N( v_1x² + v_2x² + ... + v_Nx² )

Ponieważ jednym z założeń gazu doskonałego jest jego przypadkowy i chaotyczny ruch, to wszystkie składowe prędkości średnich muszą być jednakowe, a prędkość średnia będzie równa:

$v^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{i}^{2}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{(v_{xi}^{2}+v_{yi}^{2}+v_{zi}^{2})}=\\=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{xi}^{2}}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{yi}^{2}}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{zi}^{2}}=\frac{3}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{xi}^{2}}$

Zatem wstawiając powyższe do wzoru na wyznaczone wcześniej ciśnienie otrzymujemy:

$p=\frac{mN\overline{v}^2}{3V}$

Jaką temperaturę ma próżnia?