Ciśnienie gazu doskonałego

Jeżeli przeanalizujemy zachowanie się cząsteczek gazu doskonałego w zamkniętym naczyniu, to możemy w dość prosty sposób wyprowadzić wzór na ciśnienie, jakie wywierają cząsteczki tego gazu na ścianki naczynia.

Można wykazać, że ciśnienie \(p\) wywierane przez gaz doskonały o \(N\) cząsteczkach o masie \(m\) zależy od kwadratu prędkości średniej cząsteczek gazu w naczyniu o objętości \(V\):

\(p=\frac{mN\overline{v}^2}{3V}\)

Poniżej znajdziesz wyprowadzenie powyższego wzoru.

Symulacja

Poniżej znajduje się symulacja cząsteczek gazu zamkniętego w sześciennym, szczelnym pojemniku. Cząstki zderzają się ze sobą i ściankami naczynia sprężyście. Zmieniaj różne parametry układu i sprawdź, jak zmienia się ciśnienie. Po zmianie parametrów odczekaj chwilę, aż układ ustabilizuje się.

Spróbuj na podstawie powyższej symulacji odpowiedzieć na następujące pytania:

Czy ciśnienie zależy od prędkości cząsteczek gazu?
Czy ciśnienie zależy od masy cząsteczek gazu?
Czy ciśnienie zależy od wielkości naczynia?
Czy ciśnienie zależy od ilości gazu w naczyniu?
Czy ciśnienie zależy od gęstości gazu w naczyniu?

Spróbuj też narysować wykresy powyższych zależności przyjmując umowne jednostki. Będziesz mógł stwierdzić zależność wprost proporcjonalną, odwrotnie proporcjonalną lub inną.

Wyprowadzenie

Niech a oznacza długość krawędzi sześciennego naczynia z gazem, V - jego objętość, p - pęd pojedynczej cząstki gazu doskonałego, v - jej prędkość. Jeżeli obierzemy układ odniesienia w dolnym narożniku sześciennego pojemnika i przeanalizujemy ruch jednej cząstki wzdłuż osi x, to przy uderzeniu o ściankę naczynia składowa x prędkości zmieni znak po zderzeniu. Możemy wówczas obliczyć w następujący sposób zmianę pędu cząstki gazu:

\(\Delta p=p_{końcowy x}-p_{początkowy x}=-mv_x-mv_x= -2mv_x\)

Taki sam pęd z przeciwnym znakiem (czyli \(2mv_x\)) uzyska ścianka naczynia. Jednocześnie prędkość cząsteczki, która przebywa drogą od ścianki do ścianki i z powrotem (między kolejnymi zderzeniami) wynosi \(v_x= \frac{2a}{\Delta t}\), skąd czas między zderzeniami wynosi \(\Delta t = \frac{2a}{v_x}\).

Zmiana pędu ścianki naczynia w jednostce czasu to zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona siła, jaka działa na tę ściankę:

\(F=\frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\frac{2a}{v_x}} = \frac{mv_x^2}{a}\).

Obliczmy ciśnienie wywierane na ściankę przez tę jedną cząsteczkę gazu (jest to siła wywierana na powierzchnię ścianki bocznej o polu \(a^2\)):

\(p_1=\frac{F}{a^2}=\frac{mv_x^2}{a^3}= \frac{mv_x^2}{V}\).

Jeżeli cząstek mamy \(N\), to ciśnienie wywierane na badaną ściankę będzie sumą wszystkich ciśnień wywieranych na tę ściankę przez wszystkie cząsteczki:

\(p_1+ p_2+ ... + p_N= \frac{mv_{1x}^2}{V} + \frac{mv_{2x}^2}{V} + ... + \frac{mv_{Nx}^2}{V} = \frac{m}{V} (v_{1x}^2+ v_{2x}^2+ ... + v_{Nx}^2)\)

Prawdopodobieństwo, że jedna cząsteczka z \(N\) cząstek ma prędkość \(v_1\) wynosi \(\frac{1}{N}\).

Zatem:

\(v_x^2= \frac{1}{N}(v_{1x}^2+ v_{2x}^2+ ... + v_{Nx}^2)\)

Ponieważ jednym z założeń gazu doskonałego jest jego przypadkowy i chaotyczny ruch, to wszystkie składowe prędkości średnich muszą być jednakowe, a prędkość średnia będzie równa:

\(v^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{i}^{2}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{(v_{xi}^{2}+v_{yi}^{2}+v_{zi}^{2})}=\)

\(=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{xi}^{2}}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{yi}^{2}}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{zi}^{2}}=\frac{3}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{xi}^{2}}\)

Zatem wstawiając powyższe do wzoru na wyznaczone wcześniej ciśnienie otrzymujemy:

\(p=\frac{mN\overline{v}^2}{3V}\)

Jaką temperaturę ma próżnia?