Czy liczb całkowitych jest więcej od liczb naturalnych?

Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że liczb całkowitych jest około dwa razy więcej niż liczb naturalnych, bo oprócz liczb naturalnych w zborze liczb całkowitych są jeszcze przecież liczby do nich przeciwne.

Jest jednak inaczej. Liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo ile liczb całkowitych!

Nie trzeba wcale wyższej matematyki, aby to udowodnić. Wystarczy oprzeć się na zasadzie liczenia elementów zbioru.

Spójrz na poniższy przykład. Zbiory A i B mają tyle samo elementów, bo wszystkie elementy tych zbiorów można połączyć w pary. Mówimy, że zbory te są równoliczne. Małpek jest tyle samo ile słoni. Mówiąc inaczej, znaleźliśmy odwzorowanie takie, że każdemu elementowi ze zbioru A przypisujemy dokładnie jeden element ze zbioru B (odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, bijekcja).

Spójrzmy na poniższy przykład:

zbiory nierównoliczne

Ponieważ jednemu elementowi ze zbioru A nie możemy przypisać żadnego elementu ze zbioru B, możemy z całą pewnością powiedzieć, że krokodyli jest więcej niż ryb.

Poprzez analogię postąpimy z liczbami naturalnymi i całkowitymi:

Równolicznośc zbioru liczb całkowitych i naturalnych.

Jak widać każdemu elementowi ze zbioru liczb naturalnych możemy przypisać dokładnie jeden element ze zbioru liczb całkowitych. Wszystkie liczby z obu zbiorów mamy połączone w pary!

Liczb całkowitych jest więc tyle samo ile liczb naturalnych!

Uwaga! Nie możemy tego samego powiedzieć o wszystkich zbiorach, które mają nieskończenie wiele elementów. O ile można udowodnić, że liczb naturalnych jest tyle ile na przykład liczb parzystych (spróbuj sam), to już liczb rzeczywistych jest więcej niż całkowitych.

Mamy tu, jak widać, do czynienia z "większymi" i "mniejszymi" nieskończonościami. Nieskończonościami (w tym liczbami kardynalnymi) zajmował się jako pierwszy niemiecki matematyk — Georg Cantor (1845-1918).

Ostatnio opublikowane w Pytajniku

Czy można spowolnić fotony?

Fotony są składnikiem światła. Wiemy że poruszają się ze stałą prędkością światła, która jest uniwersalną stałą fizyczną. Czy istnieje możliwość spowolnienia fotonów?

Dlaczego gwiazdy zataczają okręgi wokół Gwiazdy Polarnej?

Dlaczego na zdjęciach nieba nocnego z długim czasem naświetlania gwiazdy wydają się krążyć wokół Gwiazdy Polarnej?

Czy istnieją jadowite ssaki?

Każdy wie o jadowitych wężach, skorpionach, pająkach, żabach, rybach, owadach. A co z ssakami? Czy ssaki bywają jadowite i czy ich jad jest niebezpieczny dla człowieka?

Zobacz więcej

Przeglądaj wszystkie artykuły dotyczące ciekawostek ze świata nauki.

Zobacz też

Zbiór

Zbiór jest pojęciem pierwotnym, a więc nie definiujemy go. Pojęciem pierwotnym jest także element zbioru.

Alef zero

Alef zero jest to liczba kardynalna równa mocy zbioru liczb naturalnych. Warto wiedzieć, że najmniejszą liczbą kardynalną nieskończoną jest właśnie moc zbioru liczb naturalnych.

Liczby

Omówienie działu Liczby