Długość wektora

Jak obliczyć długość wektora? Podamy dwa wzory, w przypadku gdy dane są współrzędne tego wektora (składowe wektora), a także w przypadku gdy mamy dane współrzędne początku i końca wektora.

Długość wektora \(\vec{a}\) (moduł wektora) będziemy oznaczać przez \(|\vec{a}|\) lub \(a\).

Aby obliczyć długość dowolnego wektora \(\vec{a}\), będziemy korzystać ze wzoru:

\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

gdzie \(a_x\) i \(a_y\) oznaczają miary składowych wektora \(\vec{a}\).

Zastosujmy powyższy wzór na długość wektora w zadaniu:

Przykład

Oto jak liczymy długość wektora \(\vec{a}=[4,-3]\):

\(|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

Gdy dane są jedynie współrzędne początku \(A=(x_A,y_A)\) i końca wektora \(B=(x_B,y_B)\), to moduł wektora \(\vec{AB}\) obliczymy ze wzoru:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Powyższy wzór wynika z własności współrzędnych wektora. Zauważ, że długość wektora obliczamy identycznie jak długość odcinka.

Przykład

Dany jest punkt \(A=(1,2)\) i \(B=(-2,3)\). Jaką długość ma wektor \(\vec{AB}\)?

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Rozwiązanie zadania: Oblicz długość wektora:

a) \(\vec{a}=[-3,4]\)

b) \(\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}\)

c) \(\vec{c}=-\vec{j}\)

d) \(\vec{0}\)

e) \(\vec{AB}, A=(2,3), B=(-2,-3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Obliczyć długość wektora \(\vec{a}=[1,1,1]\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Dany jest wektor \(\vec{a}=[3,4]\). Przez jaką liczbę należy go pomnożyć, aby jego długość była równa 1?

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2008-04-24, A-23
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-10



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.