Doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe jest to wynik doświadczenia losowego.

Przykłady

W poniższej tabeli zawarto przykłady doświadczeń oraz zdarzeń losowych.

Doświadczenie losowe	Zdarzenie losowe (przykłady)
rzut kostką do gry	parzysta liczba oczek, wyrzucono 3 oczka
rzut monetą	orzeł, reszka
urodzenie dziecka	płeć męska, płeć żeńska
losowanie lotto	trafienie 3 z 49 liczb
pomiar pewnej wielkości fizycznej	pomiar mieści się w przedziale liczb od 1 do 5
losowanie kul z urny spośród kul czarnych i białych	wylosowanie kuli czarnej
wyjęcie karty z talii	karo, as pik

Częstość zdarzenia losowego

Częstość zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu losowym o zdarzeniu \(L\) (zdarzenie \(L\) może zajść lub nie) jest to iloraz \(c=\frac{l}{n}\), gdzie:

\(l\) — jest to liczba zajść zdarzenia \(L\).

\(n\) — liczba powtórzeń doświadczenia.

Im więcej powtórzeń doświadczenia tym częstość zdarzenia zbliża się do pewnej stałej liczby. Zjawisko to nosi nazwę prawidłowości statystycznej.

Przykład 1

Rzuć 3 razy monetą. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu orła. Zapisz wyniki:

Liczba powtórzeń \(n=3\).
Ile razy wyrzucono orła (\(l\))?
Oblicz częstość zdarzenia \(c=\frac{l}{n}\).

Powtórz to samo doświadczenie, przyjmując liczbę powtórzeń rzutu monetą \(5\) razy, potem \(10\) razy i \(20\) razy. Jaki otrzymasz wynik \(c\)? Prawdopodobnie częstość zdarzenia \(c\) będzie coraz bliższa liczbie \(\frac{1}{2}\).

Przykład 2

Rzuć 5 razy kostką do gry. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu szóstki. Zapisz wyniki:

Liczba powtórzeń \(n=5\).
Ile razy wyrzucono sześć oczek \(l\)?
Oblicz częstość zdarzenia \(c=\frac{l}{n}\)

Powtórz to samo doświadczenie, przyjmując liczbę powtórzeń rzutu kostką \(20\) razy, potem \(50\) razy i \(100\) razy. Jaki otrzymasz wynik \(c\)? Prawdopodobnie częstość zdarzenia c będzie coraz bliższa liczbie \(\frac{1}{6}\).

Zdarzenia elementarne

Zdarzenie elementarne jest to najprostszy (pojedynczy) wynik doświadczenia losowego.

Zdarzenie elementarne będziemy oznaczać grecką literą \(\omega\).

Zbiór zdarzeń elementarnych

Zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać grecką literą \(\Omega\).

Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy następująco: \(\overline{\overline{\Omega}}\) (zobacz pojęcie mocy zbioru).

Dla każdego doświadczenia losowego należy określić, co uważamy za zdarzenie elementarne i określić zbiór zdarzeń elementarnych. Oto przykłady.

Przykład 3

Doświadczenie losowe: rzut monetą.
Zdarzenie losowe: wyrzucenie orła lub reszki.
Zdarzenia elementarne:
- \(\omega_1\) — wyrzucono orła.
- \(\omega_2\) — wyrzucono reszkę.
Zbiór zdarzeń elementarnych: \(\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2 \rbrace\).
\(\overline{\overline{\Omega}}=2\).

Przykład 4

Doświadczenie losowe: rzut kostką do gry.
Zdarzenie losowe: wyrzucenie nieparzystej liczby oczek.
Zdarzenia elementarne:
- \(\omega_1\) — wyrzucono 1.
- \(\omega_1\) — wyrzucono 3.
- \(\omega_1\) — wyrzucono 5.
Zbiór zdarzeń elementarnych: \(\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2,\omega_3 \rbrace\).
\(\overline{\overline{\Omega}}\).

Zbiór zdarzeń elementarny może być skończony, jak w powyższych przykładach, może też się składać z nieskończonej liczby zdarzeń elementarnych. Na podstawie powyższego określenia pojęć można zdefiniować zdarzenie losowe, jako każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Mówimy, że dane zdarzenie losowe zachodzi, gdy zachodzi jedno ze zdarzeń elementarnych wchodzących w skład tego zdarzenia.

Zbiór zdarzeń elementarnych ma dwa specyficzne podzbiory:

Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe

Zbiór \(\Omega\), będący sam swoim podzbiorem — nazywamy go zdarzeniem pewnym.
Zbiór pusty \(\emptyset\), który nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Przykład 5

W rzucie kostką do gry zdarzeniem pewnym jest wyrzucenie co najmniej jednego oczka. Zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 7.

Przykład 6

W losowaniu z urny jednej kuli z trzech o różnych kolorach: białym, czarnym i zielonym, zdarzeniem pewnym jest wyjęcie z urny kuli białej, czarnej lub zielonej, zdarzeniem niemożliwym jest wyjęcie z urny kuli czerwonej.

Liczba zdarzeń losowych

Liczba zdarzeń losowych. Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych ma \(n\) elementów, to łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym jest \(2^n\) zdarzeń losowych.

Ponieważ zdarzenia losowe są zbiorami, możemy się posługiwać tymi samymi relacjami, co w przypadku zbiorów, inaczej jednak używamy słownictwa. Poniższa tabela to ilustruje.

Relacja między zbiorami	Relacja między zdarzeniami	Oznaczenie relacji
suma zbiorów \(A\) i \(B\)	suma zdarzeń \(A\) i \(B\)	\(A\cup B\)
iloczyn zbiorów \(A\) i \(B\)	iloczyn zdarzeń \(A\) i \(B\)	\(A\cap B\)
różnica zbiorów \(A\) i \(B\)	różnica zdarzeń \(A\) i \(B\)	\(A \setminus B\)
uzupełnienie zbioru \(A\)	zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\)	\(A'\)
zbiór \(A\) zawiera się w \(B\)	zdarzenie \(A\) pociąga zdarzenie \(B\)	\(A\subset B\)
rozłączność zbiorów \(A\) i \(B\)	zdarzenia \(A\) i \(B\) wykluczają się	\(A\cap B=\emptyset\)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Zdarzenia losowe

Inne zagadnienia z tej lekcji

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Zdarzenia niezależne

Schemat Bernoulliego

Drzewo stochastyczne

Pojęcie prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa