Dywergencja

Dywergencja jest operatorem matematycznym wektorowym, który polu wektorowemu przypisuje pewne pole skalarne.

Dywergencja nazywana także źródłowością. Jeżeli za pomocą funkcji wektorowej opiszemy pole pewnego prądu, na przykład przepływu cieczy, to dywergencja oznacza ilość tej cieczy na jednostkę objętości i czasu w danym punkcie pola wektorowego.

Jeżeli dywergencja jest dodatnia, to mamy do czynienia z ucieczką wielkości fizycznej z układu (np. masy tej cieczy). Mamy wówczas do czynienia ze źródłem tej wielkości (masy cieczy). W przypadku, gdy dywergencja jest ujemna, mamy do czynienia z wpływaniem pewnej wielkości fizycznej do układu (ścieki). Gdy dywergencja jest równa zeru, tyle samo np. masy cieczy wpływa do układu ile wypływa.

Ilustruje to poniższy rysunek.

Oznaczenie dywergencji

Dywergencję pola wektorowego $\vec{F}$ oznaczamy w następujący sposób:

div ,
∇ · , gdzie ∇ jest operatorem nabla, a znak "·" oznacza iloczyn skalarny.

Dywergencja w układzie kartezjańskim

W układzie kartezjańskim wzór na dywergencję jest następujący:

$div \vec{F} = \nabla \circ \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z},\\ \vec{F}(x,y,z) = F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}$

gdzie i,j,k oznaczają wersory (wektory bazowe) układu.

Przykład

Obliczyć dywergencję pola wektorowego

$\vec{F} = [xyz,x^2+y^2,y^2+z^2]$

Korzystając z powyższego wzoru obliczamy kolejne pochodne cząstkowe i w efekcie dywergencję:

$\nabla \circ \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\\=\frac{\partial}{\partial x}(xyz)+\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)+\frac{\partial}{\partial z}(y^2+z^2)=\\=yz+2y+2z$