Dzielenie wielomianów
Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Iloraz wielomianów dość często pojawia się w kursie matematyki przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych. Dzielnik wielomianu nie może być wielomianem zerowym, a stopień wielomianu będącym ilorazem jest co najwyżej równy stopniowi niezerowej dzielnej.
Przykłady
Dzielenie pisemne wielomianów wymaga nieco wprawy. Warto więc rozwiązać kilka przykładów. Najczęściej wykonuje się dzielenie pisemne wielomianów przez dwumian.
Reszta z dzielenia wielomianu
Twierdzenie o rozkładzie wielomianu
Jeżeli \(W(x), P(x)\) są wielomianami i \(P(x)\) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany \(Q(x), R(x)\), że \(W(x)=Q(x)P(x)+R(x)\).
Wielomian \(R(x)\) może być wielomianem zerowym albo jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu \(P(x)\).
Przykłady
Poniższy przykład ilustruje dzielenie wielomianów z resztą:
Otrzymaliśmy resztę z dzielenia i możemy zapisać powyższe działanie zgodnie z przytoczonym twierdzeniem:
\((x^4-3x^3+x^2-1)=(x^2-3x+2)(x^2-1)+(-3x+1)\)
gdzie \((-3x+1)\) jest resztą z dzielenia.
Jednak najczęściej wynik zapisujemy w następujący sposób:
\((x^4-3x^3+x^2-1):(x^2-1)=x^2-3x+2+\frac{-3x+1}{x^2-1}\)
Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian
Reszta dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \((x−a)\) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie \(a\), tzn. \(W(a)\).
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru a wielomian \(W(x)=x^3+2x^2-x+a\) dzieli się bez reszty przez \(x-1\)?
Zadanie nr 2.
Wykonać dzielenie wielomianów:
a) \((x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)\)
b) \((8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)\)
c) \((x^{10}-1):(x^2+1)\)
d) \((8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})\)
e) \((x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wielomian \(W(x)=6x^3+3x^2-5x+p\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\) dla \(p\) równego:
A. \(4\)
B. \(-2\)
C. \(2\)
D. \(-4\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-08-18, A-284
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-25