Elipsa

Definicja — równanie elipsy

Elipsa jest to linia krzywa określona poprzez następujące równanie:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

W równaniu tym \(a>0, \ b>0, \ a\neq b\). Elipsą jest także każda figura otrzymana z tej krzywej przez przekształcenie izometryczne.

elipsa

Liczba \(a\) to tak zwana półoś wielka, liczba \(b\), to półoś mała elipsy.

Definicja

Ogniska elipsy są to dwa punkty \(F_1(c,0), F_2(-c,0)\), gdzie liczba \(c\) jest zdefiniowana następująco: \(c^2=a^2-b^2\). Ogniska leżą zawsze na osi wielkiej elipsy i są rozłożone symetrycznie względem środka elipsy.

Ogniskowa elipsy jest to odległość ognisk od siebie. Jest ona równa \(2c\). Liczbę \(c\) nazywamy półogniskową.

Wprowadzone wyżej pojęcia ilustruje poniższy rysunek.

elipsa oś i ogniskowa

Promienie wodzące punktu elipsy są to odcinki łączące ogniska elipsy z dowolnymi punktami elipsy.

elipsa promienie wodzące

Twierdzenie

Suma promieni wodzących punktu elipsy jest stała i równa długości osi wielkiej elipsy.

\(r_1+r_2=2a=const\)

Powyższa własność pozwala w prosty sposób naszkicować elipsę. Jak narysować elipsę? Ilustruje to krótki film.

Film
Jak narysować elipsę?

Mimośród elipsy

Mimośród elipsy jest to stosunek półogniskowej do półosi wielkiej elipsy. Mimośród oznaczamy zwykle grecką literą \(\varepsilon\).

\(\varepsilon=\frac{c}{a}\)

Ponieważ półogniskowa jest zawsze krótsza od półosi wielkiej w elipsie, mimośród jest zawsze liczbą mniejszą od jedności.

Pytania

Ile ognisk ma elipsa?

Elipsa ma dwa ogniska.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.