Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym bryły sztywnej jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności tej bryły i kwadratu prędkości kątowej.

\(E_k=\frac{I{\omega}^2}{2}\)

Powyższy wzór do złudzenia przypomina wzór na energię kinetyczną w ruchu postępowym \(E_k=\frac{mv^2}{2}\) z tą różnicą, że zamiast prędkości liniowej mamy tu prędkość kątową, a zamiast masy moment bezwładności bryły sztywnej.

Wyprowadzenie wzoru na energię kinetyczną w ruchu obrotowym

Jeżeli założymy, że bryła sztywna jest zbiorem punktów materialnych o danej masie \(m_i\) i prędkości liniowej \(v_i\) lub kątowej \(\omega_i\), a odległość i-tego punktu materialnego od osi obrotu wynosi \(r_i\), to całkowitą energię bryły sztywnej policzymy poprzez zsumowanie wszystkich energii \(E_i\) składowych punktów materialnych.

Energia kinetyczna \(E_i\) pojedynczego punktu materialnego w ruchu obrotowym wyraża się wzorem:

\(E_i=\frac{{m_i}{v_i}^2}{2}\)

Zależność między prędkością kątową, a liniową jest następująca:

\(v=\omega r\)

Mamy więc:

\(E_i=\frac{{m_i}({\omega_i\cdot{r_i}})^2}{2}=\frac{{m_i}{{r_i}}^{2}{\omega^2}}{2}\)

Dlaczego zniknął indeks "i" przy prędkości kątowej? Otóż dlatego, że prędkość kątowa wszystkich punktów bryły sztywnej w ruchu obrotowym jest taka sama!

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły jest więc równa:

\(E_k=E_1+E_2+...=\sum{E_i}=\sum{\frac{{m_i}{{r_i}}^{2}{\omega^2}}{2}}=\frac{{\omega^2}\sum{{m_i}{{r_i}}^{2}}}{2}=\frac{I{\omega^2}}{2}\)

Inne zagadnienia z tej lekcji