Energia w ruchu drgającym
Punkt materialny o masie m podlega ruchowi drgającemu harmonicznemu. Jak zmienia się energia takiego punktu?
Obliczymy najpierw energię kinetyczną w ruchu harmonicznym. Korzystamy ze wzoru na energię kinetyczną:
\(E_k=\frac{mv^2}{2}\)
oraz ze wzoru na prędkość w ruchu harmonicznym:
\(v = -A\omega sin(\omega t+\phi )\)
Otrzymujemy:
\(E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\phi)\).
W przypadku energii potencjalnej zależy ona od wydłużenia ośrodka sprężystego. Energia potencjalna będzie równa pracy, jaką należy wykonać, aby rozciągnąć sprężynę na odległość \(x\), czyli:
\(E_p=\frac{1}{2}F_x\cdot x\)
Z artykułu o ruchu harmonicznym wiemy, że Składowa \(x\) wektora siły dana jest wzorem \(Fx=-kx\), zaś \(x=Acos(\omega t+\phi )\). Zatem:
\(E_p=\frac{1}{2}F_x\cdot x=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)\)
Energia całkowita drgającego harmonicznie punktu materialnego będzie sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Skorzystamy tutaj z trygonometrycznego wzoru jedynkowego \(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\) oraz zależności \(k=m\omega ^2\).
Dokonujemy obliczeń:
\(E=E_k+E_p=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\phi)+\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)=\)
\(\frac{1}{2}A^2[m\omega^2sin^2(\omega t+\phi)+kcos^2(\omega t+\phi)]=\)
\(\frac{1}{2}kA^2[sin^2(\omega t+\phi)+cos^2(\omega t+\phi)]=\)
\(\frac{1}{2}kA^2\)\)
Mamy więc:
lub
Wnioski
Oto wnioski dotyczące energii w ruchu harmonicznym:
- Energia całkowita układu drgającego swobodnie ruchem harmonicznym jest stała, co stoi w zgodzie z zasadą zachowania energii.
- Energia potencjalna jest największa w chwili, gdy punkt materialny ma wychylenie równe amplitudzie, natomiast jest równa zeru, gdy punkt osiąga punkt równowagi.
- Energia kinetyczna jest równa zeru w chwili najwyższego wychylenia punktu materialnego, natomiast największa, gdy przechodzi przez punkt równowagi.
- W ruchu drgającym swobodnym mamy ciągłe i cykliczne przemiany energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie.
© medianauka.pl, 2020-08-01, A-3922
Data aktualizacji artykułu: 2025-04-22