Podobieństwo
Co to jest podobieństwo i kiedy figury są podobne? Oto definicja podobieństwa figur.
Podobieństwo w skali \(k\) jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku\(k\): \(|A''B''|=k|A''B''|\).
Własności podobieństwa
- Podobieństwo w skali \(k=1\) jest izometrią.
- Podobieństwo w skali \(k=1\) jest przekształceniem tożsamościowym.
- Przekształcenie odwrotne do podobieństwa w skali \(k\) jest podobieństwem w skali \(\frac{1}{k}\).
- Złożenie dwóch podobieństw o skalach \(k_1, k_2\) jest podobieństwem w skali \(k_1k_2\).
- Każde podobieństwo jest złożeniem pewnej jednokładności z pewną izometrią i złożenie dowolnej jednokładności z dowolną izometrią jest podobieństwem.
- Podobieństwo zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów na prostej.
- Podobieństwo zachowuje stosunek odcinków.
- Podobieństwo przekształca kąt w kąt przystający.
- Podobieństwo zachowuje rozwartość kąta skierowanego (może zmienić jego zwrot).
Figury podobne
Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo, które przekształca jedną figurę w drugą. Figury podobne oznaczamy następująco: \(f\sim f '\).
Twierdzenie
Wieloboki podobne mają boki proporcjonalne, a kąty odpowiednio równe.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=\frac{d'}{d}\)
\(\alpha=\alpha', \beta=\beta',\ \gamma=\gamma', \delta=\delta'\)
Trójkąty podobne
Dwa trójkąty są podobne, jeżeli spełniony jest którykolwiek z warunków:
Cecha BBB (bok-bok-bok)
Trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}\)
Cecha BKB (bok-kąt-bok)
Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami są równe.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}, \alpha=\alpha'\)
Cecha KK (kąt-kąt)
Dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwom kątom drugiego trójkąta.
\(\alpha=\alpha', \beta=\beta'\)
Cecha podobieństwa wielokątów
Dwa \(n\)-kąty wypukłe są podobne, jeżeli wierzchołki jednego z nich można przyporządkować wierzchołkom drugiego tak, że \(n-1\) kolejnych boków w jednym wielokącie i \(n-1\) kolejnych boków w drugim wielokącie są proporcjonalne, zaś \(n-2\) kolejnych kątów zawartych między tymi bokami w jednym wielokącie i odpowiadające im kąty w drugim wielokącie są parami równe.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}\)
\(\alpha=\alpha', \beta=\beta'\)
Inne cechy podobieństwa figur:
- Każde dwa okręgi są podobne.
- Wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
- Każde dwa odcinki są podobne.
Pytania
Czym się różni podobieństwo od jednokładności?
Każde podobieństwo jest złożeniem pewnej jednokładności z pewną izometrią i złożenie dowolnej jednokładności z dowolną izometrią jest podobieństwem.
Mówiąc inaczej, figury jednokładne mają odpowiednie odcinki równoległe. W przypadku figur podobnych ten warunek nie musi być spełniony. Każde dwie figury jednokładne są figurami podobnymi, natomiast figury podobne nie zawsze są jednokładne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość
A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\) jest równa:
A. \(2\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10, |BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).
A. \(m=22\)
B. \(m=20\)
C. \(m=12\)
D. \(m=11\)
Długość odcinka DE jest równa
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:
A. \(10, 15, 20\)
B. \(20, 45, 80\)
C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)
D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).
Wtedy
A. \(|OK|=6\)
B. \(|OK|=8\)
C. \(|OK|=10\)
D. \(|OK|=12\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) — odpowiednio — w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość 26. Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.
Powiązane materiały
Figury przystające
Przekształcenie geometryczne
Trójkąt
Twierdzenia o trójkącie
Figury podobne© medianauka.pl, 2010-12-04, A-1040
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-19