Podobieństwo
Co to jest podobieństwo i kiedy figury są podobne? Oto definicja podobieństwa figur.
Podobieństwo w skali \(k\) jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku\(k\): \(|A''B''|=k|A''B''|\).
Własności podobieństwa
- Podobieństwo w skali \(k=1\) jest izometrią.
- Podobieństwo w skali \(k=1\) jest przekształceniem tożsamościowym.
- Przekształcenie odwrotne do podobieństwa w skali \(k\) jest podobieństwem w skali \(\frac{1}{k}\).
- Złożenie dwóch podobieństw o skalach \(k_1, k_2\) jest podobieństwem w skali \(k_1k_2\).
- Każde podobieństwo jest złożeniem pewnej jednokładności z pewną izometrią i złożenie dowolnej jednokładności z dowolną izometrią jest podobieństwem.
- Podobieństwo zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów na prostej.
- Podobieństwo zachowuje stosunek odcinków.
- Podobieństwo przekształca kąt w kąt przystający.
- Podobieństwo zachowuje rozwartość kąta skierowanego (może zmienić jego zwrot).
Figury podobne
Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo, które przekształca jedną figurę w drugą. Figury podobne oznaczamy następująco: \(f\sim f '\).
Twierdzenie
Wieloboki podobne mają boki proporcjonalne, a kąty odpowiednio równe.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=\frac{d'}{d}\)
\(\alpha=\alpha', \beta=\beta',\ \gamma=\gamma', \delta=\delta'\)
Trójkąty podobne
Dwa trójkąty są podobne, jeżeli spełniony jest którykolwiek z warunków:
Cecha BBB (bok-bok-bok)
Trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}\)
Cecha BKB (bok-kąt-bok)
Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami są równe.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}, \alpha=\alpha'\)
Cecha KK (kąt-kąt)
Dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwom kątom drugiego trójkąta.
\(\alpha=\alpha', \beta=\beta'\)
Cecha podobieństwa wielokątów
Dwa \(n\)-kąty wypukłe są podobne, jeżeli wierzchołki jednego z nich można przyporządkować wierzchołkom drugiego tak, że \(n-1\) kolejnych boków w jednym wielokącie i \(n-1\) kolejnych boków w drugim wielokącie są proporcjonalne, zaś \(n-2\) kolejnych kątów zawartych między tymi bokami w jednym wielokącie i odpowiadające im kąty w drugim wielokącie są parami równe.
\(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}\)
\(\alpha=\alpha', \beta=\beta'\)
Inne cechy podobieństwa figur:
- Każde dwa okręgi są podobne.
- Wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
- Każde dwa odcinki są podobne.
Pytania
Czym się różni podobieństwo od jednokładności?
Każde podobieństwo jest złożeniem pewnej jednokładności z pewną izometrią i złożenie dowolnej jednokładności z dowolną izometrią jest podobieństwem.
Mówiąc inaczej, figury jednokładne mają odpowiednie odcinki równoległe. W przypadku figur podobnych ten warunek nie musi być spełniony. Każde dwie figury jednokładne są figurami podobnymi, natomiast figury podobne nie zawsze są jednokładne.
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość
A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\) jest równa:
A. \(2\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10, |BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).
A. \(m=22\)
B. \(m=20\)
C. \(m=12\)
D. \(m=11\)
Długość odcinka DE jest równa
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:
A. \(10, 15, 20\)
B. \(20, 45, 80\)
C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)
D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).
Wtedy
A. \(|OK|=6\)
B. \(|OK|=8\)
C. \(|OK|=10\)
D. \(|OK|=12\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) — odpowiednio — w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość 26. Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Figury przystające
Przekształcenie geometryczne
Trójkąt
Twierdzenia o trójkącie© medianauka.pl, 2010-12-04, A-1040
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-19