Funkcja kwadratowa
Funkcję w postaci
gdzie \(x\in{R},\quad{a}\in \mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace, b, c\in \mathbb{R}\), nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym (gdy \(b\neq 0, c\neq 0\)) lub funkcją drugiego stopnia.
Przedstawiony wyżej wzór funkcji kwadratowej jest to tak zwana postać ogólna funkcji kwadratowej.
W dalszej części kursu poznamy:
- postać iloczynową funkcji kwadratowej,
- postać kanoniczną funkcji kwadratowej.
Przykłady
Przykłady funkcji kwadratowych w postaci ogólnej:
- \(y=5x^2+9x-4\)
- \({y=-x^2-x}\)
- \({y=2x^2-7}\)
- \({y=x^2}\)
A oto inne przykłady funkcji kwadratowej w innej postaci:
- \(y=(x-1)(x+1)\)
- \(y=x(x+4)\)
- \(y=3(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})\)
- \(y=5(x-1)^2+6\)
Jednomian kwadratowy
Szczególnym przypadkiem trójmianu kwadratowego jest jednomian drugiego stopnia (kwadratowy).
Jest to funkcja w postaci \(y=ax^2\). Jest to więc przypadek, w którym \(b=c=0\).
Funkcja kwadratowa — wzory
Oto przydatne wzory i zagadnienia związane z funkcją kwadratową oraz linki do artykułów, w których wzory te zostały omówione. Jednocześnie prezentujemy różne postacie funkcji kwadratowej.
| Zagadnienie | Wzór |
| Postać ogólna funkcji kwadratowej | \(y=ax^2+bx+c\) |
| Postać iloczynowa funkcji kwadratowej | Postać iloczynowa: Pierwiastki funkcji kwadratowej \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\) Wyróżnik trójmianu kwadratowego: \(\Delta=b^2-4ac\) Miejsce zerowe funkcji kwadratowej, gdy \(\Delta=0\): \(x_0=-\frac{b}{2a}\)
|
| Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego | Postać kanoniczna: \(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}\) Wektor przesunięcia: \(\vec{u}=[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}]\) Współrzędne wierzchołka paraboli: \(W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\)
|
| Wzory Viete'a | \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) \(x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}\) |
Wykresfunkcji kwadratowej
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Wykres trójmianu kwadratowego będziemy sporządzać korzystając z możliwości przesuwania wykresu jednomianu kwadratowego o określony wektor w układzie współrzędnych. Będziemy to omawiać przy okazji postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego. Poznajmy cechy paraboli w oparciu o jednomian kwadratowy.
Przykłady
Sporządźmy wykresy kilku funkcji:
\(y=x^2\),
\(y=-x^2\),
\(y=2x^2\) ,
\(y=\frac{1}{2}x^2\),
gdzie \(a\) jest dowolną liczbą.
Sporządźmy tabelkę zmienności funkcji.
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 |
| \(y=x^2\) | 4 | 1 | 0 | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 4 |
| \(y=-x^2\) | -4 | -1 | 0 | \(-\frac{1}{4}\) | -1 | -4 |
| \(y=2x^2\) | 8 | 2 | 0 | \(\frac{1}{2}\) | 2 | 8 |
| \(y=\frac{1}{2}x^2\) | 2 | \(\frac{1}{2}\) | 0 | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{2}\) | 2 |
Na jednym układzie współrzędnych wykreślamy wykresy wszystkich funkcji.
Własności funkcji kwadratowej na przykładzie jednomianu kwadratowego
Podstawowe własności funkcji kwadratowej można określić na podstawie przykładu jednomianu kwadratowego.
- Wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa, którą nazywamy parabolą.
Parabola ma dwa ramiona, które mogą być skierowane w górę, gdy współczynnik \(a>0\) oraz skierowane w dół, kiedy współczynnik \(a<0\). - Im większy jest współczynnik \(a\), tym parabola jest „węższa”.
- Parabola (o równaniu \(y=ax^2\)) posiada jeden wierzchołek w punkcie \(W=(0,0)\).
- Parabola jednomianu kwadratowego ma oś symetrii. Jest to prosta o równaniu \(x=0\).
- Dziedzina funkcji kwadratowej: dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
- Zbiór wartości funkcji kwadratowej: zbiorem wartości jednomianu kwadratowego jest zbiór \(\langle 0;+\infty)\), gdy \(a>0\) oraz \((-\infty;0 \rangle\), gdy \(a<0\).
- Jednomian kwadratowy jest funkcją parzystą. Oś OY jest osią symetrii paraboli, a punkt przecięcia się tej osi z parabolą jest wierzchołkiem paraboli.
- Monotoniczność jednomianu kwadratowego: funkcja maleje w przedziale \((-\infty;0)\) i rośnie w przedziale \((0;+\infty)\), gdy \(a>0\) oraz rośnie w przedziale \((-\infty;0)\) i maleje w przedziale \((0;+\infty)\), gdy \(a<0\).
- Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej. Gdy \(a<0\) funkcja osiąga wartość największą (maksimum) w punkcie \(x=0\) równe \(0\), natomiast dla \(a>0\) funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum) w punkcie \(x=0\) równe \(0\).
- Jednomian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe \(x_0=0\).
Własności dowolnej funkcji kwadratowej zostały omówione w artykule o wykresie funkcji kwadratowej (link na końcu artykułu).
W artykule tym zbadasz też zmienność wykresu funkcji kwadratowej w zależności od współczynników \(a, b, c\) dzięki aplikacji tam udostępnionej. Można tutaj za pomocą suwaków zmieniać wartości odpowiednich współczynników i obserwować zachowanie wykresu funkcji kwadratowej.
Pytania
Czy funkcja kwadratowa i trójmian kwadratowy to jest to samo?
Jest pewna różnica między funkcją kwadratową a trójmianem kwadratowym. Nie każda funkcja kwadratowa jest trójmianem, ale każdy trójmian kwadratowy jest funkcją kwadratową. Istnieją dwumiany i jednomiany, które są funkcjami kwadratowymi (np. \(y=5x^2-3x, y=2x^2\)). Gdy \(a\), \(b\) i \(c\) są różne od zera, wówczas funkcja kwadratowa jest trójmianem kwadratowym.
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,-2]\)
B. \([-2,4]\)
C. \([4,\infty)\)
D. \((-\infty,9]\)
Zadanie nr 2 — maturalne.
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to:
A. \(f(1)=-6\)
B. \(f(1)=0\)
C. \(f(1)=6\)
D. \(f(1)=18\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2-6x+3\) w przedziale \([0,4]\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Liczby \((-1)\) i \(3\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\). Oblicz \(\frac{f(6)}{f(12)}\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx +c\), której miejsca zerowe to: −3 i 1.
Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Zadanie nr 6.
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
Parabola
Właściwości i wykres funkcji kwadratowej© medianauka.pl, 2009-07-19, A-267
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-17