Funkcja odwrotna i funkcja tożsamościowa

Zajmiemy się w niniejszym artykule dwoma pojęciami związanymi z podstawowymi właściwościami funkcji.

Funkcja odwrotna

Jeżeli każdemu elementowi \(x\) ze zbioru \(X\) są przyporządkowane różne elementy \(y\) ze zbioru \(Y\) za pomocą funkcji \(f\), to możemy również każdemu elementowi \(y\) ze zbioru \(Y\) przyporządkować dokładnie jeden element \(x\) ze zbioru \(X\) tak, że obrazem \(x\) w odwzorowaniu \(f\) jest \(y\).
W ten sposób stworzyliśmy funkcję odwrotną do funkcji \(f\) i oznaczamy ją przez \(f^{-1}\).

Warunek konieczny i wystarczający na to, aby funkcja \(f:X\rightarrow Y\) posiadała funkcję odwrotną, jest następujący: funkcja f musi być różnowartościowa, a zbiór \(Y\) zbiorem wartości funkcji \(f\).

Odwzorowanie, do którego istnieje odwzorowanie odwrotne, nazywamy wzajemnie jednoznacznym albo odwracalnym.

Oczywiście nie każda funkcja posiada funkcję odwrotną. Na przykład funkcja \(f(x)=5\) nie posiada funkcji odwrotnej, gdyż nie jest to funkcja różnowartościowa.

Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji \(y=f(x)\), wystarczy wyrazić \(x\) poprzez wartość \(y\) i w ten sposób otrzymujemy funkcję \(x=g(y)\). Zamieniając ze sobą symbole \(x\) i \(y\) otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej.