Funkcja złożona

Niech dziedziną funkcji \(f\) będzie zbiór \(A\), a przeciwdziedziną zbiór \(B\). Niech dziedziną funkcji \(g\) będzie zbiór, który zawiera przeciwdziedzinę funkcji \(f\), a przeciwdziedziną zbiór \(C\). Istnieje funkcja \(h:A \rightarrow C\) określona w następujący sposób: \(h(x)=g(f(x))\). Funkcję taką nazywamy funkcją złożoną lub superpozycją funkcji \(f\) i \(g\).

Złożenie funkcji \(f\) z \(g\) oznaczamy przez \(g(f(x))\) lub \((g \circ f)(x)\).

Funkcję \(f\) nazywamy funkcją wewnętrzną, natomiast funkcję \(g\) nazywamy funkcją zewnętrzną.

Przykłady

Oto przykłady funkcji złożonych:

Funkcja \(y=\sin 3x\): funkcja \(f(x)=3x\) jest tutaj funkcją wewnętrzną, natomiast funkcja sinus — zewnętrzną.
Funkcja \(y=\sin^2{x}\): funkcją wewnętrzną jest tutaj funkcja \(f(x)=\sin{x}\), a zewnętrzną — funkcja kwadratowa.
Funkcja \(y=3\log^2{x}+\log{x-1}\): funkcja wewnętrzna to \(f(x)=\log{x}\), a zewnętrzna to \(g(u)=3u^2+u-1\).

Identyfikacja funkcji złożonej i rozkład na funkcję wewnętrzną i zewnętrzna ma duże znaczenie przy obliczaniu pochodnej funkcji.

Nie zawsze możemy też złożyć dwie funkcje. Zauważmy, że w trzecim przykładzie mamy określoną funkcję \((g \circ f)(x)\), ale nie możemy już dokonać złożenia \((f \circ g)(x)\), z takiego powodu, że przeciwdziedzina funkcji \(g\) (zbiór liczb rzeczywistych) nie zawiera się w dziedzinie funkcji \(f\) (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich).