Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna jest to funkcja wymierna w postaci:

\(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)

gdzie \(a, b, c, d\) są liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek:

\(\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc\neq{0}\)

W przypadku, gdy \(c=0\) funkcja homograficzna staje się funkcją liniową.

Przykłady

Oto przykłady funkcji homograficznych:

Funkcją homograficzną nie jest \(y=\frac{4x+4}{2x+2}\) ponieważ \(ad-bc=0\) i ma stałą wartość \(y=2\).

Dziedzina funkcji homograficznej. Z definicji funkcji homograficznej wynika, że dla c różnego od zera \(cx+d\neq{0}\Leftrightarrow{cx}\neq{-d}\Leftrightarrow{x}\neq{-\frac{d}{c}}\). Zatem dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace -\frac{d}{c}\rbrace\). W przypadku, gdy \(c=0\) dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Zbiór wartości funkcji homograficznej. Przeciwdziedziną funkcji homograficznej jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace \frac{a}{c}\rbrace\).
Funkcja homograficzna jest ciągła i różnowartościowa w całej swojej dziedzinie.

Jeżeli \(a=0\) funkcja homograficzna nie posiada miejsc zerowych.

Jeżeli \(a\neq 0\), to funkcja homograficzna posiada jedno miejsce zerowe \(x_0=-\frac{b}{a}\).

Funkcję

\(y=\frac{m}{x}\)

nazywamy proporcjonalnością odwrotną, a liczbę \(m\) nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

O liczbie\(y\) mówimy, że jest odwrotnie proporcjonalna do \(x\).

Oto przykłady proporcjonalności odwrotnych:

Proporcjonalność odwrotna oznacza, że gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje.

Powyższy wzór na proporcjonalność odwrotną można zapisać inaczej: \(x\cdot y=m\).

Oto przykłady proporcjonalności odwrotnych z fizyki:

Wzór \(v\cdot t =s\), gdzie \(v\) — prędkość, \(t\) — czas, \(s\) — droga.
Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do jej częstotliwości \(\lambda=\frac{v}{f}\).

W dalszej części lekcji omawiamy wykres funkcji homograficznej.