Funkcja liniowa

Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem:

$y=ax+b,\quad{x}\in\mathbb{R}$

Litery $a$ i $b$ oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Liczby te posiadają swoje nazwy:

$a$ — jest to współczynnik kierunkowy prostej lub współczynnik kierunkowy funkcji liniowej,
$b$ — jest to wyraz wolny.

Powyższy wzór jest to wzór funkcji liniowej lub postać ogólna funkcji liniowej.

Funkcja liniowa — wzory

Wzór ogólny funkcji liniowej:

$y=ax+b,\quad{x}\in{R}$

Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej: $x_0=-\frac{b}{a}$

Przykłady funkcji liniowej

Oto kilka przykładów funkcji liniowych:

Funkcja $y=5x+1$, współczynnik kierunkowy prostej $a=5$, wyraz wolny $b=1$.
Funkcja $y=16x$, współczynnik kierunkowy prostej $a=16$, wyraz wolny $b=0$.
Funkcja $y=-x+2$, współczynnik kierunkowy prostej $a=-1$, wyraz wolny $b=2$.
Funkcja $y=1$, współczynnik kierunkowy prostej $a=0$, wyraz wolny $b=1$.

Własności funkcji liniowej

Oto wybrane własności funkcji liniowej:

Dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Przeciwdziedziną funkcji liniowej, czyli zbiorem wartości funkcji jest:

Dla $a\neq 0$ przeciwdziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$;
Dla $a=0$ przeciwdziedziną funkcji liniowej jest zbiór jednoelementowy $\lbrace b\rbrace$ (gdzie $b$ to wyraz wolny).

Monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja liniowa jest rosnąca w całej swej dziedzinie, jeżeli $a>0$.
Funkcja liniowa jest malejąca w całej swej dziedzinie, jeżeli $a<0$.
Funkcja liniowa jest stała w całej swej dziedzinie, jeżeli $a=0$.

Dowód

Udowodnimy pierwsze i drugie twierdzenie.

Wybieramy dwa dowolne argumenty $x_1, x_2$ takie, że $x_1<x_2$, czyli: $x_1- x_2< 0$. Sprawdzimy jak się zachowują wartości funkcji dla tych argumentów. Obliczmy więc wartości funkcji:

$f(x_1)=ax_1+b$

$f(x_2)=ax_2+b$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f(x_1)-f(x_2)=ax_1+b-(ax_2+b)=ax_1-ax_2-a(x_1-x_2)$.

Z założenia wynika, że $x_1- x_2< 0$, więc powyższy iloczyn jest mniejszy od zera, gdy $a>0$ i wówczas mamy do czynienia z funkcją rosnącą (bo gdy rosną argumenty funkcji, rosną też wartości funkcji).

Mamy tutaj więc $f(x_1)-f(x_2)= a(x_1-x_2)<0$ , zatem $f(x_1)<f(x_2)$.

Natomiast gdy $a<0$ mamy: $f(x_1)-f(x_2)= a(x_1-x_2)>0$ (iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni) zatem $f(x_1)>f(x_2)$ i mamy do czynienia z funkcją malejącą (dla rosnących argumentów funkcji maleją wartości funkcji).

(Jeżeli nie zrozumiałeś toku myślowego w powyższym postępowaniu, zapoznaj się z artykułem, dotyczącym badaniu monotoniczności funkcji.)

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Poniżej wyjaśniamy jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej.

Funkcja liniowa:

ma jedno miejsce zerowe gdy $a\neq 0$, równe $x_0=-\frac{b}{a}$,
nie ma miejsc zerowych gdy $a=0$ i $b\neq 0$,
ma nieskończenie wiele miejsc zerowych dla $a=0$ i $b=0$.

Przykłady

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A=(1,2)$ i $B=(3,9)$.

Gdy dane są dwa punkty, które należą do wykresu funkcji liniowej, wyznaczanie wzoru funkcji liniowej sprowadza się do rozwiązania układ równań. Podstawiając do równania $y=ax+b$ za $x$ i $y$ odpowiednie współrzędne danych punktów wyliczamy $a$ i $b$.

$\begin{cases} 2=a\cdot 1 +b\\ 9=a\cdot 3+b\end{cases}$

Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymamy:

$7=2a/:2$

$a=\frac{7}{2}$

$b=2-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$

Wzór szukanej funkcji liniowej to $y=\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}$.

A oto inny przykład.

Przykłady

Jakie własności ma funkcja $y=\frac{1}{2}x-6$?

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.
Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.
Funkcja jest rosnąca w całej swej dziedzinie (bo współczynnik kierunkowy jest dodatni).
Miejscem zerowym tej funkcji jest $x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{\frac{1}{2}}=12$.

Jakie własności ma funkcja $y=-x+1$?

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.
Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.
Funkcja jest malejąca w całej swej dziedzinie (bo współczynnik kierunkowy jest ujemny).
Miejscem zerowym tej funkcji jest $x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{-1}=1$.

Jakie własności ma funkcja $y=1$?

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.
Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór jednoelementowy $\lbrace 1 \rbrace$.
Funkcja jest stała w całej swej dziedzinie (bo współczynnik kierunkowy jest równy zero).
Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Kalkulator

Kalkulator — funkcja liniowa

Wpisz wzór funkcji liniowej, podając współczynniki $a$ i $b$ we wzorze $y=ax+b$:

y= x+

Rozwiązanie:

Pytania

Czy $x=1$ jest wzorem funkcji liniowej?

Nie. To nawet nie jest funkcja.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Funkcja liniowa

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć punkt przecięcia się wykresu funkcji $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$ z osią OX.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dana jest funkcja liniowa $f(x)=\frac{3}{4}x+6$. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. $8$

B. $6$

C. $-6$

D. $-8$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem $f(x)=(m-1)x+3$ leży punkt $S=(5,-2)$. Zatem:

A. $m=-1$

B. $m=0$

C. $m=1$

D. $m=2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Funkcja liniowa f określona wzorem $f(x)=2x+b$ ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa $g(x)=-3x+4$. Stąd wynika, że

A. $b=4$

B. $b=-\frac{3}{2}$

C. $b=-\frac{8}{3}$

D. $b=\frac{4}{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Funkcja liniowa $f(x)=(m^2-4)x+2$ jest malejąca, gdy:

A. $m\in [-2,2]$

B. $m\in (-2,2)$

C. $m\in (-\infty,2]$

D. $m\in [2,+\infty)$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

O funkcji liniowej $f$ wiadomo, że $f(1)=2$. Do wykresu tej funkcji należy punkt $P=(-2,3)$. Wzór funkcji $f$ to:

A. $f(x)=-\frac{1}{3}x+7/3$

B. $f(x)=-\frac{1}{2}x+2$

C. $f(x)=-3x+7$

D. $f(x)=-2x+4$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Funkcja liniowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{1}{3}x-1$, dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja $f$ jest malejąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P=(0,\frac{1}{3})$.
Funkcja $f$ jest malejąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P=(0,-1)$.
Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P=(0,\frac{1}{3})$.
Funkcja $f$ jest rosnąca i jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $P=(0,-1)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba $1$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=ax+b$, a punkt $M=(3,−2)$ należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik $a$ we wzorze tej funkcji jest równy