Gradient

Gradient jest to wektor przyporządkowany każdemu punktowi skalarnego pola U, który spełnia łącznie następujące warunki:

ma kierunek normalnej do odpowiedniej izopowierzchni pola skalarnego,
ma zwrot w kierunku wzrostu wartości pola skalarnego,
jego moduł jest równy pochodnej funkcji skalarnej U w kierunku normalnej.

Gradient funkcji skalarnej f ma następujące oznaczenia:

grad f,
∇ f, gdzie symbol ∇ to tak zwany operator nabla.

Gradient we współrzędnych kartezjańskich

We współrzędnych kartezjańskich gradient funkcji skalarnej f(x,y,z) dany jest wzorem:

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$

lub

$\nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]$

Wektor gradientu wskazuje kierunek największego wzrostu funkcji w danym punkcie, natomiast długość tego wektora opisuje wielkość tego wzrostu.

Poniższy rysunek ilustruje gradient. Pole skalarne funkcji zostało zobrazowane jako obszar z odcieniami szarości. To wizualizacja gradientu na przykładzie koloru. Im jest on jaśniejszy, tym większa wartość funkcji. Strzałki przedstawiają kierunek gradientu takiej funkcji.

W przypadku gdy interesuje nas wartość gradientu w danym punkcie, obliczamy gradient danej funkcji i wstawiamy pod nasze zmienne wartości współrzędnych punktu danego punktu.

Przykład

Dana jest funkcja f(x,y,z)=x²y-xy²+xyz.

Oblicz gradient funkcji w punkcie (1,1,0).

Obliczamy gradient funkcji f(x,y,z):

$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy-y^2+yz\\ \frac{\partial f}{\partial y}=x^2-2xy+xz\\ \frac{\partial f}{\partial z}=xy\\ \nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-2xy+xz,xy]$

Podstawiając za x=1, y=1 i z=0 mamy:

$\nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-2xy+xz,xy]=[1,-2,1]$

To jedno z podstawowych pojęć matematycznych, które często jest wykorzystywane w fizyce.