Gradient

Gradient jest to wektor przyporządkowany każdemu punktowi skalarnego pola \(U\), który spełnia łącznie następujące warunki:

ma kierunek normalnej do odpowiedniej izopowierzchni pola skalarnego,
ma zwrot w kierunku wzrostu wartości pola skalarnego,
jego moduł jest równy pochodnej funkcji skalarnej \(U\) w kierunku normalnej.

Gradient funkcji skalarnej \(f\) ma następujące oznaczenia:

\(grad f\),
\(\nabla f\), gdzie symbol \(\nabla\) to tak zwany operator nabla.

Gradient we współrzędnych kartezjańskich

We współrzędnych kartezjańskich gradient funkcji skalarnej \(f(x,y,z)\) dany jest wzorem:

\(\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\)

lub

\(\nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]\)

Wektor gradientu wskazuje kierunek największego wzrostu funkcji w danym punkcie, natomiast długość tego wektora opisuje wielkość tego wzrostu.

Poniższy rysunek ilustruje gradient. Pole skalarne funkcji zostało zobrazowane jako obszar z odcieniami szarości. To wizualizacja gradientu na przykładzie koloru. Im jest on jaśniejszy, tym większa wartość funkcji. Strzałki przedstawiają kierunek gradientu takiej funkcji.

W przypadku gdy interesuje nas wartość gradientu w danym punkcie, obliczamy gradient danej funkcji i wstawiamy pod nasze zmienne wartości współrzędnych punktu danego punktu.

Przykład

Dana jest funkcja \(f(x,y,z)=x^2y-xy^2+xyz\).

Oblicz gradient funkcji w punkcie \((1,1,0)\).

Obliczamy gradient funkcji \(f(x,y,z)\):

\(\frac{\partial f}{\partial x}=2xy-y^2+yz\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-2xy+xz\)

\(\frac{\partial f}{\partial z}=xy\)

\(\nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-2xy+xz,xy]\)

Podstawiając za \(x=1\), \(y=1\) i \(z=0\) mamy:

\(\nabla f=[2xy-y^2+yz, x^2-2xy+xz,xy]=[1,-2,1]\)

To jedno z podstawowych pojęć matematycznych, które często jest wykorzystywane w fizyce.