Granica funkcji

Będziemy się posługiwać różnymi definicjami pojęcia granicy funkcji. Są one równoważne. Pojęcie granicy funkcji nie jest łatwe, dlatego warto wcześniej przypomnieć sobie pojęcie granicy ciągu liczbowego. Obliczanie granic funkcji także nie jest łatwe. Pomogą w tym wzory, które omawiamy i ilustrujemy przykładami na końcu artykułu. Granice funkcji wykorzystuje się na przykład w analizie przebiegu zmienności funkcji.

Granica funkcji w punkcie

Oto pierwsza definicja granicy funkcji.

Definicja Heinego

Funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę \(g\), jeżeli dla każdego ciągu \((x_n)\) o wyrazach należących do sąsiedztwa punktu \(x_0\) i zbieżnego do \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).

Granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) będziemy oznaczać następująco: \(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=g\), czytamy przy tym ten zapis następująco: „granicą funkcji \(f(x)\) przy \(x\) dążącym do \(x_0\) jest \(g\)”.

Posługujemy się następującym nazewnictwem:

\((x_n)\) - ciąg argumentów funkcji,
\((f(x_n))\) - ciąg wartości funkcji.

Aby lepiej zrozumieć te pojęcia, przeanalizujmy poniższy przykład:

Przykład

Dana jest funkcja \(y=2x+1\).

Weźmy dla przykładu dowolny ciąg: \(a_n=\frac{1}{n}\).

W prosty sposób możemy utworzyć ciąg argumentów funkcji: \(x_n=\frac{1}{n}\) oraz ciąg wartości funkcji: \(y_n=2x_n+1=2\cdot \frac{1}{n}+1=\frac{2}{n}+1\).

Zatem, aby obliczyć granicę funkcji w punkcie należy wziąć dowolny ciąg \((x_n)\) zbieżny do \(x_0\) o wyrazach różnych od \(x_0\), a następnie zbudować ciąg wartości funkcji \(y_n\) i zbadać jego zbieżność.

Animacja

Przykład zadania

Obliczyć granicę funkcji: \(y=\frac{1-x}{2}\) w punkcie \(x_0=2\).

Bierzemy dowolny ciąg \(x_n\) zbieżny do 2 o wyrazach różnych od 2, czyli \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=2, x_n\neq{2}\) (takich ciągów jest nieskończenie wiele, nie musimy przy tym znać wzoru na n-ty wyraz ciągu).

Tworzymy ciąg wartości funkcji: \(y_n=f(x_n)=\frac{1-x_n}{2}\) i obliczamy jego granicę (zauważ, że obliczamy granicę ciągu, czyli przy \(n\) dążącym do nieskończoności!). Granica funkcji \(f(x)\) w punkcie 2 będzie więc równa granicy ciągu:

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{1-x}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{1-x_n}{2}=\frac{1-\displaystyle\lim_{n\to \infty}{x_n}}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}\)

Nie zawsze funkcja posiada granicę w punkcie. Aby wykazać, że dana funkcja nie ma granicy w punkcie \(x_0\), należy wskazać dwa różne ciągi argumentów zbieżnych do \(x_0\) tak, aby odpowiadające im ciągi wartości funkcji były zbieżne do różnych granic lub aby co najmniej jeden z nich był rozbieżny. Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład

Obliczymy granicę funkcji: \(y=\frac{2x}{x+1}\) w punkcie \(x_0=-1\).

Bierzemy dowolne dwa ciągi \(x_n\) zbieżne do -1 o wyrazach różnych od -1:

\(x_n=\frac{1}{n}-1\)

\(x'_n=-\frac{1}{n}-1\)

Oba ciągi mają tę samą granicę:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} x'_n=-1\)

Tworzymy ciąg wartości funkcji:

\(y_n=f(x_n)=\frac{2(\frac{1}{n}-1)}{1+(\frac{1}{n}-1)}=\frac{\frac{2}{n}-2}{1+\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{2-2n}{n}}{\frac{1}{n}}=\frac{2-2n}{n}\cdot \frac{n}{1}=2-2n\)

Obliczamy jego granicę:

\(\displaystyle\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2-2n)=-\infty\)

Tworzymy podobny ciąg wartości funkcji dla drugiego przypadku:

\(y'_n=f(x'_n)=\frac{2(-\frac{1}{n}-1)}{1+(-\frac{1}{n}-1)}=\frac{-\frac{2}{n}-2}{1-\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{-2-2n}{n}}{-\frac{1}{n}}=\frac{-2-2n}{n}\cdot \frac{-n}{1}=2+2n\)

Obliczamy jego granicę:

\(\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2+2n)=+\infty\)

Otrzymaliśmy dwie różne granice. Nie istnieje więc granica tej funkcji w punkcie -1.

Definicja Cauchy'ego

Mówimy, że funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) granicę \(g\) (oznaczamy ją następująco:\(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=g\)), jeżeli dla każdego \(\varepsilon >0\) istnieje takie sąsiedztwo \(S\) punktu \(x_0\), że dla każdego \(x\in S\) spełniona jest nierówność: \(|f(x)-g|<\varepsilon\).

Animacja

Animacja

Przeanalizujmy przykład. Rozwiążemy zadanie, które rozwiązane zostało przy okazji omawiania definicji Heinego.

Przykład

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{1-x}{2}=-\frac{1}{2}\).

Obliczamy \(f(x)-g=\frac{1-x}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{2-x}{2}\).

Nierówność z definicji Cauchy'ego jest spełniona:

\(|f(x)-g|<\varepsilon\)

\(|\frac{2-x}{2}|<\varepsilon\)

\( -\varepsilon < \frac{2-x}{2}<\varepsilon\)

\(-2\varepsilon < 2-x<2\varepsilon\)

\(-2\varepsilon <x-2<2\varepsilon\)

\( |x-2|<2\varepsilon\)

gdy \(x\) należy do sąsiedztwa \(S(2,2\varepsilon)\).

Granice funkcji — wzory

Jak obliczać sprawnie granice funkcji w punkcie? Przy obliczaniu granic w praktyce posługujemy się podstawowymi równościami, które zostały wymienione niżej:

\(\displaystyle\lim_{x\to a}{c}=c\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a}{x}=a\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a}{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[n]{a}, a> 0, n\in \mathbb{N}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a}{\sin{x}}=\sin{a}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1\)

Oto przykłady rozwiązywania granic funkcji.

Przykłady

\(\displaystyle\lim_{x\to 5}{2}=2\)
\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{(-5)}=-5\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{0}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 5}{x}=5\)
\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{x}=-1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 5}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{5}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 9}{\sqrt{x}}=\sqrt{9}=3\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\sin{x}}=\sin{0}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\sin{x}}=\sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1\)

Rachunek granic

Stosujemy także kilka wzorów rachunku granic. Oto one:

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f(x)\) oraz \(g(x)\) mają w punkcie \(x_0\) granice \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=a, \lim_{x\to x_0}{g(x)}=b\), to:

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}{[f(x)+g(x)]=a+b}\)

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}{[f(x)-g(x)]=a-b}\)

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}{[f(x)\cdot g(x)]=a\cdot b}\)

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}{[f(x):g(x)]=a:b (b\neq 0)}\)

Dodatkowo na podstawie powyższych zależności można wywnioskować, że:

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}{c\cdot f(x)}=c\cdot \lim_{x\to x_0}{f(x)}\)

Oto kilka przykładów obliczania granic funkcji w punkcie z wykorzystaniem powyższych twierdzeń i wzorów:

Przykłady

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{(x+\sin{x})}=0+\sin{0}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{(1-x)}=\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{x}=1-(-1)=2\)
\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}{(x\sin{x})}=\lim_{x\to \pi}{x}\cdot \lim_{x\to \pi}{\sin{x}}=\pi \cdot \sin{\pi}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 1}{1}}{\displaystyle\lim_{x\to 1}{x}}=1\)