Granica ciągu

Definicja granicy ciągu wymaga zrozumienia pojęcia otoczenia punktu oraz wygodnie jest posłużyć się pojęciem „prawie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego”.

Prawie wszystkie wyrazy ciągu to wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby.

Przykłady

Dany jest ciąg $(1, 2, 3, 4, 5, . . .)$ .

Wszystkie wyrazy ciągu większe od $100$ , to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb $10, 11, 12, 13, . . ., 100000$ to prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Przykładami prawie wszystkich wyrazów ciągu nie są:

wszystkie wyrazy ciągu mniejsze od $100$
wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb $2, 4, 6, 8, . . .$

ponieważ wykluczamy z ciągu nieskończoną liczbę wyrazów.

Zrozumienie definicji granicy ciągu jest trudne, chociaż intuicyjne podejście często jest oczywiste. Dlatego zaczniemy od przykładu.

Przykłady

Dany jest ciąg $a_{n} = \frac{2 + n}{n}$ .

Wypiszmy jego wyrazy i sporządźmy wykres tego ciągu.

$(3, 2, 1 \frac{2}{3}, 1 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{5}, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{2}{7}, 1 \frac{1}{4}, 1 \frac{2}{9}, 1 \frac{1}{5}, . . .)$

Wykres ciągu an=(2+n)/n

Bez trudu zauważamy, że im większe $n$ , tym wyrazy $a_{n}$ są bliższe wartości $1$ . Mówimy, że ciąg jest zbieżny do $1$ lub że jego granicą przy $n$ dążącym do nieskończoności jest liczba $1$ . Możemy też powiedzieć, że $a_{n}$ dąży do $1$ , gdy $n$ dąży do nieskończoności.

Definicja granicy ciągu

Zajmijmy się teraz definicją granicy ciągu. Oto ona:

Liczba $g$ jest granicą ciągu $(a_{n})$ (granicę oznaczamy symbolem $lim_{n \to \infty} (a_{n}) = g$ ), jeżeli spełniony jest warunek:

lim_{n \to \infty} (a_{n}) = g \Leftrightarrow \underset{ε > 0}{⋀} \underset{n_{0}}{⋁} \underset{n > n_{0}}{⋀} | a_{n} - g | < ε

Powyższy wzór możemy przeczytać następująco: „Liczba $g$ jest granicą ciągu $(a_{n})$ przy $n$ dążącym do nieskończoności, jeżeli dla każdego $ε$ istnieje taka liczba $n_{0}$ , że dla każdego $n > n_{0}$ spełniona jest nierówność $| a_{n} - g | < ε$ ”.

Symbol lim czytamy jako limes. Jest słowo greckiego pochodzenia, oznaczające granicę.

Symbol $lim_{n \to \infty} (a_{n}) = g$ czytamy następująco: „granicą ciągu $a_{n}$ przy $n$ dążącym do nieskończoności, jest liczba $g$ ”.

Jeśli przypomnimy sobie pojęcia otoczenia punktu i prawie wszystkich wyrazów ciągu, to powyższa definicja powinna się wydawać bardziej zrozumiała.
Otóż widać, że $ε$ to promień otoczenia punktu $g$ , a wyrazy ciągu $a_{n}$ należą do tego otoczenia.

Możemy więc powiedzieć, że liczba $g$ jest granicą ciągu, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (wszystkie dla $n$ większego od $n_{0}$ ) należą do tego otoczenia.

Jeszcze lepiej widać to na ilustracji.

granica coągu

Zaznaczyliśmy na wykresie przykładowe otoczenie punktu $g = 1$ i widać, że istnieje takie $n_{0}$ , że dla kolejnych $n$ większych od $n_{0}$ prawie wszystkie wyrazy $a_{n}$ należą do otoczenia tego punktu — punkty $(n, a_{n})$ znajdują się do zakreskowanej części wykresu. Widać też, że dotyczy to każdego otoczenia tego punktu. Stąd możemy napisać, że:

$lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n} = 1$

Granica niewłaściwa ciągu

Nie wszystkie granice ciągów są zbieżne. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykłady

Ciąg $(2, 4, 8, . . ., 2^{n}, . . .)$ nie jest zbieżny.
Ciąg $(1, 4, 9, 16, . . ., n^{2}, . . .)$ również nie jest zbieżny.

O ciągach, które nie mają granicy, mówimy, że są rozbieżne lub mają granice niewłaściwe.

Definicja

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy rozbieżnym do nieskończoności i piszemy $lim_{n \to \infty} (a_{n}) = \infty$ , jeżeli:

lim_{n \to \infty} (a_{n}) = \infty \Leftrightarrow \underset{M \in R}{⋀} \underset{n_{0} \in N_{+}}{⋁} \underset{n \in N_{+}}{⋀} (n > n_{0} \Rightarrow a_{n} > M)

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: „Ciąg $(a_{n})$ nazywamy rozbieżnym do nieskończoności (ma granicę niewłaściwą nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od $M$ ”.

Definicja

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy $lim_{n \to \infty} (a_{n}) = - \infty$ , jeżeli

lim_{n \to \infty} (a_{n}) = - \infty \Leftrightarrow \underset{M \in R}{⋀} \underset{n_{0} \in N_{+}}{⋁} \underset{n \in N_{+}}{⋀} (n > n_{0} \Rightarrow a_{n} < M)

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: „Ciąg $(a_{n})$ nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności (ma granicę niewłaściwą minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od $M$ ”.

Przykłady ciągów rozbieżnych i ich granice:

Ciąg $(a_{n} >)$	Granica
$a_{n} = n$	$lim_{n \to \infty} n = \infty$
$a_{n} = - n$	$lim_{n \to \infty} (- n) = - \infty$
$a_{n} = 5^{n}$	$lim_{n \to \infty} 5^{n} = \infty$
$a_{n} = n^{3}$	$lim_{n \to \infty} n^{3} = \infty$

Powiązane materiały

Otoczenie punktu

Obliczanie granic ciągów

Granica ciągu