Granica funkcji w nieskończoności

Definicja

Niech \(f(x)\) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale \((a;\infty)\). Funkcja \(f(x)\) ma w nieskończoności granicę \(g\) (używamy zapisu \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}{f(x)}=g\)), jeżeli dla każdego ciągu argumentów \((x_n)\) o wyrazach należących do przedziału \((a;\infty)\) rozbieżnego do nieskończoności, ciąg wartości \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).

Definicja

Niech \(f(x)\) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale \((-\infty;a)\). Funkcja \(f(x)\) ma w minus nieskończoności granicę \(g\) (używamy zapisu \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=g\)), jeżeli dla każdego ciągu argumentów \((x_n)\) o wyrazach należących do przedziału \((-\infty;a)\) rozbieżnego do minus nieskończoności, ciąg wartości \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).

Przykład

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}{\frac{x-2}{x}}\).

Niech \(x_n\neq 0, \displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}=\infty\).

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}{\frac{x-2}{x}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{x_n-2}{x_n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1-\frac{2}{x_n}}{1}}=\frac{1-0}{1}=1\)

Przy obliczaniu granic w nieskończoności stosujemy następujące metody rachunkowe:

w przypadku, gdy obliczamy granicę wielomianu, wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze,
w przypadku, gdy obliczamy granicę funkcji wymiernej, wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje w mianowniku.

Warto tutaj pamiętać, że:

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in \mathbb{R}, \ n\in \mathbb{N}\)

\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in \mathbb{R}, \ n\in \mathbb{N}\)

Przykład 1

Obliczyć: \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}{(x^3-2x^2+1)}\).

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}{(x^3-2x^2+1)}=\lim_{x\to \infty}{[x^3(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3})]}=\infty\)

Przykład 2

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}}\).

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\to \infty}{\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć:

a) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}\)

b) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Sąsiedztwo punktu

Granica funkcji

Granica niewłaściwa funkcji

Granica lewostronna i prawostronna funkcji

Granica funkcji