Iloczyn kartezjański

Co to jest iloczyn kartezjański zbiorów?

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y) takich, że x ∈ A i y ∈ B oznaczamy A×B.

Możemy powyższą definicję zapisać w następującej postaci: A×B = {(x, y): x ∈ A i y ∈ B}.

Przykłady iloczynu kartezjańskiego zbiorów

Przykład 1

Dane są zbiory: A = {1, 2} i B = {3, 4}.

Aby utworzyć iloczyn kartezjański A×B, musimy utworzyć pary elementów tak, aby elementy zbiory A były pierwszymi elementami par, a elementy zbioru B — drugimi elementami par. Musimy też wyczerpać wszystkie możliwości tworzenia par. A więc: A×B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.

Określimy teraz B×A. Teraz pierwszymi elementami par będą elementy zbioru B. Zatem: B×A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}. Otrzymaliśmy zupełnie inny zbiór niż wcześniej.

Przykład 2

Dane są zbiory: A = {a, b, c} i B = {x, y}.

A×B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}.

B×A = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}.

A×A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}.

B×B = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)}.

Własności iloczynu kartezjańskiego zbiorów

Iloczyn kartezjański nie jest przemienny: A×B ≠ B×A.

Ciekawostki

Iloczyn kartezjański wykorzystuje się w informatyce w teorii baz danych. Kiedy dokonujesz zakupów w internetowym sklepie, szukając danej pozycji poprzez wybór na przykład gatunku literackiego i ceny maksymalnej zakupu, albo gdy ustawiasz filtry podczas wyszukiwania odpowiedniego modelu i rocznika samochodu w serwisie motoryzacyjnym, to prawdopodobnie masz do czynienia z iloczynem kartezjańskim.

Kalkulator — iloczyn kartezjański zbiorów

W tym miejscu możesz obliczyć iloczyn kartezjański zbiorów skończonych. Podaj elementy dwóch zbiorów (co najmniej jeden). Poszczególne elementy rozdzielaj przecinkami.

Wpisz dane:

Zbiór A = {

}

Zbiór B = {

}

Rozwiązanie: