Mnożenie wielomianów

Wielomiany możemy przez siebie mnożyć. Aby uzyskać iloczyn wielomianów, mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz kolejnego wielomianu, a następnie redukujemy jednomiany podobne i porządkujemy wszystkie wyrazy od jednomianu o najwyższym stopniu do wyrazu wolnego.

Przykłady

Dane są dwa wielomiany:

\(A(x)=2x^2-x\)

\(B(x)=x^3+x-1\)

Tworzymy iloczyn wielomianów:

\(C(x)=A(x)\cdot{B(x)}=(2x^2-x)\cdot(x^3+x-1)=\)

\(=2x^5+2x^3-2x^2-x^4-x^2+x=2x^5-x^4+2x^3-3x^2+x\)

Zauważmy, że stopień iloczynu \(C(x)\) jest równy 5, natomiast stopień kolejnych składników iloczynu odpowiednio 2 i 3. Warto zapamiętać, że:

Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni składników.

Twierdzenie

Jeżeli wielomian \(W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0\), gdzie \(a_n\neq{0}\) ma \(n\) miejsc zerowych (pierwiastków), \(x_1,x_2,...,x_n\), to \(W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\).

Jest to tak zwana postać iloczynowa wielomianu.

Przykład 1

Wielomian \(W(x)=2x^3+2x^2-4x\) ma trzy pierwiastki: 0,1 i -2.

Zwróćmy uwagę, że stopień rozpatrywanego wielomianu jest równy 3. Możemy więc zapisać zgodnie z powyższym twierdzeniem:

\(W(x)=2(x-1)(x+2)(x-0)=2x(x-1)(x+2)\)

Możemy również w ten sposób znajdować postać wielomianu o zadanych miejscach zerowych.

Przykład 2

Znajdziemy wielomian o dwóch miejscach zerowych: -5 i 8.

Korzystamy z powyższego twierdzenia, na podstawie którego przykładem takiego wielomianu może być:

\(W(x)=(x+5)(x-8)=x^2-8x+5x-40=x^2-3x-40\)

Przyjęliśmy tutaj milcząco, że \(a_n=1\). Oczywiście możemy przyjąć dowolnie inną wartość.

Warto jeszcze zapamiętać treść twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki. Oto ono:

Twierdzenie

Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Wielomian \(W(x)\) dla \(x_1=-5, x_2=5\) ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie \(x=1\) jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wykonać mnożenie:

a) \((3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)\)

b) \([(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]\)

i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej \(x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.