Mnożenie wielomianów
Wielomiany możemy przez siebie mnożyć. Aby uzyskać iloczyn wielomianów, mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz kolejnego wielomianu, a następnie redukujemy jednomiany podobne i porządkujemy wszystkie wyrazy od jednomianu o najwyższym stopniu do wyrazu wolnego.
Przykłady
Dane są dwa wielomiany:
\(A(x)=2x^2-x\)
\(B(x)=x^3+x-1\)
Tworzymy iloczyn wielomianów:
\(C(x)=A(x)\cdot{B(x)}=(2x^2-x)\cdot(x^3+x-1)=\)
\(=2x^5+2x^3-2x^2-x^4-x^2+x=2x^5-x^4+2x^3-3x^2+x\)
Zauważmy, że stopień iloczynu \(C(x)\) jest równy 5, natomiast stopień kolejnych składników iloczynu odpowiednio 2 i 3. Warto zapamiętać, że:
Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni składników.
Twierdzenie
Jeżeli wielomian \(W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0\), gdzie \(a_n\neq{0}\) ma \(n\) miejsc zerowych (pierwiastków), \(x_1,x_2,...,x_n\), to \(W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\).
Jest to tak zwana postać iloczynowa wielomianu.
Przykład 1
Wielomian \(W(x)=2x^3+2x^2-4x\) ma trzy pierwiastki: 0,1 i -2.
Zwróćmy uwagę, że stopień rozpatrywanego wielomianu jest równy 3. Możemy więc zapisać zgodnie z powyższym twierdzeniem:
\(W(x)=2(x-1)(x+2)(x-0)=2x(x-1)(x+2)\)
Możemy również w ten sposób znajdować postać wielomianu o zadanych miejscach zerowych.
Przykład 2
Znajdziemy wielomian o dwóch miejscach zerowych: -5 i 8.
Korzystamy z powyższego twierdzenia, na podstawie którego przykładem takiego wielomianu może być:
\(W(x)=(x+5)(x-8)=x^2-8x+5x-40=x^2-3x-40\)
Przyjęliśmy tutaj milcząco, że \(a_n=1\). Oczywiście możemy przyjąć dowolnie inną wartość.
Warto jeszcze zapamiętać treść twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki. Oto ono:
Twierdzenie
Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Wielomian \(W(x)\) dla \(x_1=-5, x_2=5\) ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie \(x=1\) jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?
Zadanie nr 2.
Wykonać mnożenie:
a) \((3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)\)
b) \([(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]\)
i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej \(x\).
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-08-17, A-283
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-23