Kąt

Definicja

Kąt nieskierowany, kąt płaski, nazywany krótko kątem, jest to zbiór utworzony z dwóch różnych półprostych o wspólnym początku i jednej z figur, wyciętych z płaszczyzny przez te dwie półproste.

Półproste noszą nazwę ramion kąta, a ich wspólny początek, to wierzchołek kąta. Wnętrze kąta, to figura wycięta z płaszczyzny przez dwie półproste, natomiast obszar kąta, to wnętrze kąta wraz z dwoma półprostymi. Wszystkie pojęcia zostały zilustrowane poniższym rysunkiem.

kąt - definicja

Zauważmy, że powyższą definicję spełnia także taki przypadek:

kąt

Dwie półproste wyznaczają więc na płaszczyźnie dwa kąty. Każdy z nich będziemy oznaczać tak samo:\(\angle{BAC}\), podając w środku punkt stanowiący wierzchołek kąta. Gdy posługujemy się takim oznaczeniem, dla odróżnienia od siebie obu kątów zwykle wskazujemy na dodatkowe informacje dotyczące danego kąta.

Jak oznaczamy kąty?

Do oznaczania kątów używamy także liter alfabetu greckiego: \(\alpha,\beta,\gamma,\delta,...\) (alfa, beta, gamma, delta itd.).

W praktyce na rysunkach kąty oznaczamy w inny sposób. Zamiast zaznaczać całe wnętrze kąta, zaznaczamy je poprzez narysowanie łuku. Ilustruje to poniższy rysunek:

kąty

Kąt wypukły i wklęsły

W pierwszym przypadku mamy do czynienia z figurą wypukłą, a kąt nazywamy wypukłym. Na drugim rysunku mamy do czynienia z figurą niewypukłą, a taki kąt będziemy nazywać kątem wklęsłym.

Przypomnijmy, że kąt wypukły to taka figura, że każdy odcinek o końcach, należących do tej figury, zawiera się w tej figurze. Kąt wklęsły to taki kąt, który nie jest wypukły.

Przykłady

Na rysunku zaznaczono kilka kątów. Kąty \(\alpha, \gamma\) są kątami wypukłymi, natomiast kąt \(\beta\) jest kątem wklęsłym.

kąty wklęsłe i wypukłe

Rodzaje kątów

Rozróżniamy wiele rodzajów kątów. Tu wymieniamy wybrane z nich.

Kąt półpełny

Kąt półpełny jest to kąt, którego ramiona uzupełniają się do prostej.

kąt półpełny

Kąt półpełny ma miarę 180° (\(\pi\) rad).

Kąt zerowy

Kąt zerowy jest to kąt, którego ramiona pokrywają się, a jego wnętrze jest puste.

Kąt zerowy ma miarę 0° (0 rad).

Kąt pełny

Kąt pełny jest to kąt, którego ramiona pokrywają się, a jego obszar pokrywa całą płaszczyznę.

kąt pełny

Kąt pełny ma miarę 360° (\(2\pi\) rad).

O kątach zerowym, półpełnym i pełnym nie mówimy, że są wypukłe.

Kąty w kole

Kąt środkowy

Kąt środkowy koła jest to kąt, którego wierzchołek jest środkiem tego koła.

kąt środkowy

Wycinek kołowy

Wycinek kołowy jest to część wspólna koła i obszaru kąta środkowego.

wycinek kołowy

Kąt wpisany w okrąg

Kąt wpisany w okrąg (w koło) jest to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg w dwóch różnych punktach.

kąt wpisany w okrąg

Punkty przecięcia ramion kąta z okręgiem wyznaczają cięciwę. O kącie mówimy wtedy, że jest oparty na tej cięciwie. Kąt wpisany w okrąg wyznacza łuk zawarty w tym kącie. Mówimy, że kąt jest oparty na tym łuku.

Kąty wierzchołkowe

Kąt wierzchołkowy do danego kąta wypukłego jest to kąt wypukły, którego ramiona są przedłużeniem ramion danego kąta.

kąty wierzchołkowe

Twierdzenie

Kąty wierzchołkowe są równe.

Kąty przyległe

Kąt przyległy do danego kąta wypukłego jest to kąt wypukły, który ma z danym kątem jedno ramię wspólne, a którego drugie ramię jest przedłużeniem drugiego ramienia danego kąta.

kąty przyległe

Kąty dopełniające

Kąty dopełniające to kąty, których suma jest katem prostym.

W geometrii Euklidesa w trójkącie prostokątnym trójkąty ostre są trójkątami dopełniającymi.

Kąt prosty

Kąt prosty jest to kąt równy kątowi do niego przyległemu. Kąty proste oznaczamy kropką (ja na rysunku poniżej).

Kąt prosty

Kąt prosty ma miarę 90° (\(\frac{\pi}{2}\) rad).

Kąt rozwarty

Kąt rozwarty jest to każdy kąt wypukły, który jest większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego.

Ile stopni ma kąt rozwarty? Kąt rozwarty ma miarę większą od 90° (\(\frac{\pi}{2}\) rad) i mniejszą od 180° (\(\pi\) rad).

Kąt ostry

Kąt ostry jest to każdy kąt wypukły, który jest mniejszy od kąta prostego i większy od kąta zerowego.

Ile stopni ma kąt ostry? Kąt ostry ma miarę większą od 0° i mniejszą od 90° (\(\frac{\pi}{2}\) rad).

Pytania

Co to jest kąt nieskierowany?

Na to pytanie odpowiadamy w następnym artykule.

Co to jest kąt dwuścienny?

Na to pytanie odpowiadamy tutaj.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Kąty

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa \(\frac{4}{9}\) długości okręgu, ma miarę:

A. \(160°\)

B. \(80°\)

C. \(40°\)

D. \(20°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Rysunek