Kombinacja
Co to jest kombinacja? Oto definicja.
Kombinacja \(k\)-elementowa zbioru \(n\) elementów jest to każdy \(k\)-elementowy podzbiór zbioru \(n\) elementów.
Przykład
Dany jest zbiór {1, 2, 3, 4}.
- Oto wszystkie kombinacje jednoelementowe tego zbioru: {1}, {2}, {3}, {4}.
- Oto wszystkie kombinacje dwuelementowe tego zbioru: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
- Oto wszystkie kombinacje trzyelementowe tego zbioru: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}.
- Oto wszystkie kombinacje czteroelementowe tego zbioru: {1, 2, 3, 4}.
W ten sposób możemy obliczyć, jaka jest liczba podzbiorów zbioru \(n\)-elementowego.
Liczba kombinacji
Liczbę kombinacji \(k\)-elementowych n-elementowego zbioru oznaczamy symbolem \(C^{k}_{n}\) i wyraża się wzorem:
Powyższy wzór na liczbę kombinacji wykorzystamy w poniższych przykładach.
Przykłady
W pierwszym przykładzie wypisaliśmy wszystkie kombinacje zbioru czteroelementowego. Możemy teraz zweryfikować liczbę tych kombinacji za pomocą powyższego wzoru.
\(C^{1}_{4}={4 \choose 1}=\frac{4!}{1!3!}=4\)
\(C^{2}_{4}={4 \choose 2}=\frac{4!}{2!2!}=6\)
\(C^{3}_{4}={4 \choose 3}=\frac{4!}{3!1!}=4\)
\(C^{4}_{4}={4 \choose 4}=1\)
Jeśli policzymy liczbę zbiorów w powyższym przykładzie, to otrzymamy te same wartości.
Zauważmy, że nie ma tutaj znaczenia kolejność wybieranych elementów, gdyż tworząc kombinacje, nie tworzymy ciągów, a jedynie podzbiory, czyli {1, 2} i {2, 1} to ta sama kombinacja pewnego zbioru.
Przykład zadania
W klasie jest 30 uczniów. Na ile sposobów można wybrać trzyosobowy samorząd klasowy?
Wybieramy 3 elementy ze zbioru 30 uczniów, przy czym nie ma znaczenia kolejność wybranych osób. Obliczamy więc liczbę kombinacji:
\(C^{3}_{30}={30 \choose 3}=\frac{30!}{3!27!}=\frac{27!\cdot 28\cdot 29\cdot 30}{27!\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=4060\)
Odpowiedź: Z klasy liczącej 30 osób można wybrać trzy osoby na 4060 sposobów.
Lotto
Na kuponie dużego lotka zaznaczamy 6 liczb z 49. Za taki zakład płacimy 2 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało?
Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb, tworzymy 6-elementowe kombinacje zbioru 49 elementów.
Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru:
\(C^{6}_{49}={49 \choose 6}=\frac{49!}{6!43!}=\frac{43!\cdot 44\cdot 45\cdot 46\cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{43!\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=13983816\)
Za każdy zakład musimy zapłacić 2 zł, więc za 13 983 816 zakładów zapłacimy 27 967 632 zł, czyli prawie 28 mln złotych.
Kalkulator
Kalkulator — Kombinacje
W tym miejscu możesz obliczyć liczbę kombinacji \(k\)-elementowej zbioru \(n\)-elementowego. Pamiętaj, aby podać liczby naturalne. Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita. Nasz program oblicza kombinacje:
Wpisz dane:Pytania
Ile jest kombinacji w lotto?
Jak wyżej zostało to policzone, jest ich blisko 14 milionów, a dokładnie 13 983 816.
Ile jest kombinacji kostki Rubika?
Liczba kombinacji wszystkich różnych ułożeń popularnej zabawki wynosi ponad 43 tryliony!
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 2.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 6.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 8.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie nr 9 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Permutacja
Wariacja bez powtórzeń
Wariacja z powtórzeniami
Kombinatoryka
Elementy kombinatoryki
Symbol Newtona© medianauka.pl, 2009-08-22, A-300
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-23