Liczby naturalne

Liczbę 0 (zero) dopiero od niedawna zaczęto zaliczać do zbioru liczb naturalnych. Ponadto do dzisiaj nie określono jednoznacznie, czy zero należy do zbioru \(\mathbb{N}\) i stosuje się w matematyce różne konwencje. Czasem przyjmuje się oznaczenie \(\mathbb{N}_0\) dla zbioru liczb naturalnych, do których należy zero. W tym kursie przyjmujemy, że \(0\in \mathbb{N}\). Dla zbioru {1, 2, 3, 4, 5, ...} będziemy stosować oznaczenie\(\mathbb{N}_+\).

Czy ułamek jest liczbą naturalną?

Dowolny ułamek (na przykład \(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\) itp.) nie jest liczbą naturalną. Pośród wszystkich ułamków można jednak znaleźć liczby naturalne. Dzieje się tak w przypadku ułamków niewłaściwych, w których licznik jest równy mianownikowi lub jest wielokrotnością mianownika (na przykład 2/2, 6/3, 12/4 itp.). Ułamek jest zapisem dzielenia, więc w tych właśnie przypadkach otrzymujemy wyniki w postaci liczb naturalnych.

Czy 0 jest liczbą naturalną?

Niestety odpowiedź nie jest wcale jednoznaczna. To, czy zero jest liczbą naturalną, jest kwestią umowną, którą należy na początku każdego dobrego kursu matematyki wyraźnie zaznaczyć. W naszym kursie przyjęliśmy najbardziej powszechną umowę, stosowaną także w kursach szkolnych. Przyjmujemy więc, że liczba zero jest liczbą naturalną. Dlaczego jednak przyjmuje się różne rozwiązania? Wszystko zależy od tego, do czego stosujemy zbiór liczb naturalnych. W matematyce liczby naturalne są najczęściej używane w trzech przypadkach: przy określaniu kolejności (1) przy określaniu liczebności (2) oraz jako przedmiot badań teorii liczb. W pierwszej sytuacji nie ma znaczenia, od jakiej liczby zaczynają się liczby naturalne (równie dobrze można zacząć numerować elementy zbioru od 555 albo -100). W drugim przypadku dla określenia mocy zbioru pustego liczba zero jest potrzebna. W trzecim przypadku w większości twierdzeń i definicji liczby przedstawia się w postaci różnych zależności i bardzo często zero okazuje się wyjątkiem, wobec którego wszystkie twierdzenia i definicje trzeba rozbudowywać o zastrzeżenia związane z liczbą zero. Wygodnie jest więc wykluczyć zero ze zbioru liczb naturalnych. Czasem stosuje się także zapis \(\mathbb{N}_+=\lbrace 1, 2, 3, 4, ...\rbrace \) dla uściślenia przypadku wyłączenia zera ze zbioru liczb naturalnych.

Ile różnych reszt można otrzymać, dzieląc liczbę naturalną przez 9?

Takich reszt jest tylko osiem. Są to: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8. Dlaczego? Dzieląc 10 przez 9, otrzymujemy całość i 1 reszty. Dzieląc 11 przez 9, otrzymujemy 1 całość i 2 reszty itd. Gdy dochodzimy do liczby 18, otrzymujemy wynik 2 bez reszty. Dzieląc liczbę 19, otrzymujemy tym razem liczbę 2 i 1 reszty. Dla kolejnych liczb sytuacja się powtarza, z tą różnicą, że liczba całości jest odpowiednio większa.

Czy każda liczba całkowita jest liczbą naturalną?

Nie. Tylko liczba całkowita dodatnia jest liczbą naturalną. Natomiast każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. Mówiąc inaczej, zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych.

Czy istnieje najmniejsza liczba naturalna?

Tak, jest to liczba 0.

Jaka jest najmniejsza liczba jednocyfrowa?

Jest to liczba -9. Skąd to pytanie w tym miejscu? Otóż czasem pytanie to pojawia się w kontekście zadania domowego dla uczniów klas wczesnoszkolnych. W przypadku, gdy dziecko nie słyszało jeszcze o liczbach ujemnych, a zadanie jest zadane w kontekście liczb naturalnych, to wówczas odpowiedź stanowi liczba 0. Gdy jakiś nauczyciel uprze się z kolei, że jest to liczba 1, to również może mieć rację (przeczytaj odpowiedź na pytanie, czy 0 jest liczbą naturalną).

Ile jest liczb naturalnych?

Jest ich oczywiście nieskończenie wiele, jednak ciekawe jest to, że moc zbioru liczb naturalnych to tak zwana liczba kardynalna alef zero. Mówiąc kolokwialnie — najmniejsza z liczb nieskończonych! Co zdumiewające, zbiory liczb naturalnych i całkowitych są równoliczne. Więcej na ten temat znajdziesz w artykule o zbiorach.

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych?

Liczby naturalne dwucyfrowe to liczby z zakresu od 10 do 99, czyli wszystkie sto liczb z przedziału ⟨1,100⟩ z wyjątkiem dziesięciu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100. Liczb dwucyfrowych jest więc 90.