Liczby wymierne

Co to jest liczba wymierna?

Liczba wymierna jest to liczba, którą można wyrazić w postaci \(\frac{a}{b}, b\neq 0\), gdzie a jest liczbą całkowitą i b jest liczbą całkowitą różną od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą \(\mathbb{Q}\).

Dawniej zbiór liczb wymiernych oznaczano literą \(\mathbb{W}\).

Przykłady liczb wymiernych

Liczbami wymiernymi są na przykład: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{6}{3}\) (czyli 2), \(\frac{0}{7}\) (czyli 0), \(-\frac{5}{10}\) (czyli \(-\frac{1}{2}\)), 0,01 (czyli \(\frac{1}{100}\)), \(\frac{3}{2}\) itd.
Mimo że liczby 5, -2 i 0,3333... nie są wyrażone w postaci ułamka\(\frac{a}{b}\), to są liczbami wymiernymi, ponieważ można je wyrazić w takiej postaci: \(5=\frac{5}{1}\),\(0,3333...=\frac{1}{3}\), \(-2=\frac{-4}{2}\)

Własności zbioru liczb wymiernych

Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny i uporządkowany.

Między dwoma liczbami wymiernymi istnieje zawsze taka liczba wymierna, która jest większa od pierwszej i mniejsza od drugiej.

Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych, \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\).

Ułamki zwykłe

Iloraz \(\frac{a}{b}\) nazywamy ułamkiem zwykłym właściwym, jeżeli \(a<b\) oraz niewłaściwym, jeżeli \(a\geq b\). Liczbę a nazywamy licznikiem, a liczbę b — mianownikiem ułamka.

Przykład

\(\frac{1}{2}\), \(\frac{5}{8}\), \(\frac{100}{101}\) to ułamki zwykłe właściwe;
\(\frac{2}{1}\), \(\frac{8}{5}\), \(\frac{101}{100}\) to ułamki zwykłe niewłaściwe.

Ułamki dziesiętne

Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, 10000 itd. możemy zapisać w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i dziesiąte, setne, tysięczne itd. części tej liczby.

Przykład

Oto przykłady ułamków dziesiętnych:

2/10 = 0,2
14/100 = 0,14
2/1000 = 0,002
111/100 = 1,11

Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, należy wykonać dzielenie pisemne licznika przez mianownik. W wyniku dzielenia możemy uzyskać ułamek dziesiętny skończony lub ułamek dziesiętny nieskończony okresowy.

Każda liczba wymierna ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne: okresowe lub skończone.

Przykłady

\(\frac{5}{4}=1.25\) — jest to przykład ułamka dziesiętnego skończonego.
\(\frac{1}{3}=0.333...=0.(3)\) — jest to przykład ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego. Ponieważ po kropce liczba „3” powtarza się nieskończenie wiele razy, używamy zapisu polegającego na ujęciu okresu w nawiasach okrągłych.

Gdy zechcemy zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, to jest to proste, jeżeli mamy do czynienia z ułamkiem dziesiętnym skończonym (np. 0,11 = 11/100), natomiast w przypadku ułamka okresowego trzeba stosować metody, które zostaną omówione w dalszej części kursu.

Działania na liczbach wymiernych

W zbiorze liczb wymiernych wykonywalne są następujące działania:

dodawanie;
odejmowanie;
mnożenie;
dzielenie.

Ciekawostki

Która z liczb: 1 czy 0,999... jest większa?

Aby to sprawdzić, zamieńmy ułamek okresowy \(0,(9)\) na ułamek zwykły. Niech \(x=0,999...\). Obie strony tego równania mnożymy przez 10 i otrzymujemy \(10x=9,999...\). Mamy zatem prosty układ równań:

\(\begin{cases}10x= 9,999...\\ x=0,999...\end{cases}\).

Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy:

\(9x=9,000...\)

\(9x=9/:9\)

\(x=1\)

Przecież na początku zapisaliśmy, że \(x=0,999...\)! Wnioskujemy więc, że liczby te są ... równe!

\(1 = 0,999...\)

Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem.

Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym.

A więc dla przykładu:

0,8(9) = 0,9
1,999... = 2
0,1(9) = 0,2

1 i 0,999... to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby.

Pytania

Czy 0 jest liczbą wymierną?

Tak, ponieważ da się je wyrazić w postaci ułamka, na przykład \(\frac{0}{1}\).

Jak sprawdzić, czy liczba jest wymierna?

Liczba jest wymierna, jeżeli jest:

liczbą całkowitą,
ułamkiem zwykłym,
liczbą mieszaną,
ułamkiem dziesiętnym o skończonej liczbie cyfr,
ułamkiem dziesiętnym o rozwinięciu nieskończonym, ale okresowym, począwszy od określonej pozycji cyfry.

Jeżeli liczba jest zapisana w inny sposób, to należy stosować różne metody. Nie ma jednego algorytmu na sprawdzenie, czy dana liczba jest wymierna, czy niewymierna. Najczęściej stosuje się dowód nie wprost, czyli założenie, że dana liczba jest wymierna, czyli że da się wyrazić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych \(\frac{p}{q}\), przy czym q jest różne od zera i poprzez dochodzenie do sprzeczności można wykazać, że dana liczba nie jest wymierna.

Dla pierwiastków można zastosować następującą metodę: jeżeli chcemy wykazać, że dla liczby naturalnej \(n\) liczba \(\sqrt{n}\) jest wymierna, wystarczy znaleźć taką liczbę pierwszą \(p\), że \(n\) jest podzielne przez \(p\) i jest podzielna przez \(p^2\). W ten sposób można na przykład stwierdzić, że liczba \(\sqrt{18}\) nie jest wymierna, bo 18 jest podzielne przez 2, ale nie jest podzielna przez 4.

Od kiedy używa się liczb wymiernych?

Liczby wymierne były już w użyciu w starożytnym Egipcie w XVII p.n.e.

Kalkulator

Skracanie ułamków zwykłych

W tym miejscu możesz zobaczyć, w jaki sposób skracamy ułamki zwykłe. Nasz robot rozwiązuje dowolne zadanie z tego zakresu.

Wpisz dane:

Licznik:

Mianownik:

Rozwiązujemy zadanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość „infinity”, to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹².
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.