Logarytm
Definicja
Logarytmem liczby \(x>0\) przy podstawie \(a\), gdzie \(a>0\) i \(a\neq 1\) nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę \(a\), aby otrzymać liczbę \(x\).
Przykłady
- \(\log_{2}32=5\), bo \(2^5=32\)
- \(\log_{5}1=0\), bo \(5^0=1\)
- \(\log_{\frac{1}{2}}4=-2\), bo \((\frac{1}{2})^{-2}=4\)
- \(\log_{5}\frac{1}{5}=-1\), bo \(5^{-1}=\frac{1}{5}\)
Jak liczyć logarytmy?
Obliczając logarytm \(\log_{a}b\), można sobie zadawać pytanie: „do której potęgi należy podnieść liczbę \(a\), aby otrzymać liczbę \(b\)?”.
Podstawa logarytmu
W wyrażeniu \(\log_{a}b\) liczbę \(a\) nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz różna od jedności.
Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.
Zadanie
Obliczyć \(\log_{2}(8\sqrt[3]{2})\).
Układamy równanie: \(\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=x\) i na podstawie definicji logarytmu mamy: \(2^x=8\sqrt[3]{2}\)
Z własności działań na potęgach mamy:
\(2^x=2^3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\)
\( 2^x=2^{(3+\frac{1}{3})}\)
\( 2^x=2^{3\frac{1}{3}}\)
\( x=3\frac{1}{3}\)
Zatem: \(\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=3\frac{1}{3}\)
Kalkulator
Kalkulator - logarytm
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu o dowolnej podstawie z podanej liczby.
Liczba logarytmowana x:
Podstawa logarytmu a:
Logarytm dziesiętny
Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.
Jeżeli więc nie podajemy podstawy logarytmu, mamy zawsze na myśli logarytm o podstawie 10.
Logarytm dziesiętny składa się z następujących składników:
- cecha — jest to część całkowita logarytmu, to znaczy największa liczba całkowita nie większa od logarytmu, oznaczmy ją przez c (może być to liczba dodatnia, ujemna oraz zero),
- mantysa — jest to różnica między logarytmem danej liczby, a cechą tego logarytmu, oznaczmy ją przez m (m spełnia warunek \(0 \leq m < 1\)).
Możemy więc zapisać, że \(\log x=c+m\).
Przykłady
\(\log 84=1+m_{1}\)
W powyższym przykładzie wyznaczono cechę: ponieważ \(10^1=10,\ a\ 10^2=100\ i\ 10<84<100\), więc 1 jest cechą tego logarytmu, m1 jest mantysą. Widać teraz, że logarytm ten jest większy od 1 i mniejszy od 2. Mantysy zwykle odczytujemy z tablic matematycznych.
A oto inne przykłady:
\(\log 100=2+0\)
\( \log 840=2+m_{2}\)
\( \log 24872=4+m_{3}\)
\(\log{\frac{1}{2}}=-1+m_{4}\)
\( \log{0,02}=-2+m_{5}\)
Kalkulator logarytmów dziesiętnych
Kalkulator — logarytm dziesiętny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu dziesiętnego podanej liczby.
Liczba logarytmowana:
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny liczby \(x\) jest to logarytm po podstawie równej \(e=2,718281828...\) (liczba Eulera) i oznaczamy go przez \(\ln{x}\).
Co wyróżnia akurat taką podstawę logarytmu? Otóż pochodna tego logarytmu, jako jedynego jest równa \((\ln x)'=\frac{1}{x}\)
Ze względu na tę własność często używamy logarytmów naturalnych na przykład przy okazji badania funkcji matematycznych, w obliczeniach w zaawansowanej geometrii analitycznej, rachunku różniczkowym, badaniu ciągów.
Kalkulator logarytmów naturalnych
Kalkulator — logarytm naturalny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu naturalnego podanej liczby.
Liczba logarytmowana:
W kolejnym artykule poznamy wzory związane z logarytmami oraz własności logarytmów.
Pytania
Jak obliczyć logarytm w programie Excel?
Należy skorzystać z funkcji LOG, gdy chcemy obliczyć logarytm przy danej podstawie lub z funkcji LOG10, gdy chcemy obliczyć logarytm dziesiętny. Jeżeli dla przykładu w dowolnej komórce wpiszemy formułę "=LOG(8;2)" otrzymamy wynik logarytmu z ośmiu przy podstawie dwa, czyli liczbę 3.
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Przedstaw liczbę \(0,2\) jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log{\frac{A}{A_0}}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\ cm\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6,2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\ cm\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27},\ b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\ c=\log_{\frac{1}{3}}{27}\). Iloczyn \(abc\) jest równy:
A. \(-9\)
B. \(-\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(3\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}2\) jest równa
A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Powiązane quizy
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-04-05, A-179
Data aktualizacji artykułu: 2024-07-21