Macierz

Macierz prostokątna o wymiarze \(n×m\) jest to układ liczb zapisanych w postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach.

\(\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \quad &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{array}\right]\)

Liczby w tablicy nazywamy elementami macierzy.

Macierz możemy oznaczyć przez \([a_{ij}]\), gdzie i,j liczby naturalne większe od zera oraz \(i\leq m\) i \(j\leq n\).

Macierze w matematyce pojawiły się dopiero w XIX wieku. Mają wiele zastosowań nie tylko w matematyce, ale także w fizyce i informatyce (grafika komputerowa) oraz w innych naukach technicznych.

Na macierzach można wykonywać działania, o czym będzie mowa dalej.

Macierze zwykle oznaczamy literami wielkimi alfabetu: A, B, C itd.

Przykłady macierzy

Poniżej przedstawiamy kilka przykładów macierzy:

\(\left[\begin{array} & 5 & 6 & 2\\-3& 4& 5\\3& 3& 0 \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}&4455&6&2&55&-45 \\ -3&4&5&0&-4 \\ 3&3&0&6&8\end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array} &1\\0\\1\\2\\0\\5 \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}&1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{array}\right]\)

Rząd macierzy

Macierz kwadratowa

Macierz kwadratowa jest to macierz prostokątna o liczbie kolumn równej liczbie wierszy (m = n). Liczbę n nazywamy stopniem macierzy.

Przykład macierzy kwadratowej 4-go stopnia:

\(\left[\begin{array}&1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{array}\right]\)

Równość macierzy

Dwie macierze są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar i odpowiednie elementy równe.

Macierz diagonalna

Macierz diagonalna jest to macierz kwadratowa, której wszystkie elementy są zerami poza elementami głównej przekątnej (zawierającej element \(a_{11}\)).

Oto przykład macierzy diagonalnej:

\(\left[\begin{array}&1&0&0&0\\0&6&0&0\\0&0&11&0\\0&0&0&16\end{array}\right]\)

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa to macierz diagonalna, której elementy głównej przekątnej są równe 1.

Oto przykład macierzy jednostkowej:

\(\left[\begin{array}&1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]\)

Inne zagadnienia z tej lekcji

Wyznacznik macierzy