Miary kątów

Definicja

Każdemu kątowi przypisujemy pewną liczbę, zwaną miarą kąta, która spełnia następujące warunki:

Kąt zerowy ma miarę 0.
Kąt niezerowy ma miarę dodatnią.
Miara sumy kątów równa jest sumie miar kątów.
Miara kąta prostego jest dowolną, z góry ustaloną liczbą.

W definicji miary kąta jest mowa o sumie kątów. Jeżeli dwa kąty mają wspólne ramię i wierzchołek, ale ich wnętrza są rozłączne, to można utworzyć kąt, który nazwiemy sumą kątów, a którego obszarem jest suma obszarów danych kątów i którego wierzchołek jest wspólny tych kątów. Sumą tych kątów będziemy także nazywać każdy kąt przystający do nich. Jeżeli dwa kąty nie mają wspólnego wierzchołka i ramienia, to wówczas sumę tych kątów tworzymy tak, że przy jednym z ramion kąta odkładamy kąt przystający do drugiego kąta.

Miara stopniowa

Najczęściej posługujemy się miarą stopniową kąta. W mierze stopniowej kątowi prostemu przypisujemy liczbę 90, a kąt, którego miara jest równa 1, nazywamy stopniem i oznaczamy następująco: 1°.

Jeżeli dany jest kąt \(\angle{ABC}\), to jego miarę oznaczamy następująco: \(|\angle{ABC}|\). Jeżeli dany jest kąt \(\angle{\alpha}\), to jego miarę oznaczamy następująco: \(\alpha\).

Kąt	miara
zerowy	0°
jednostkowy	1°
prosty	90°
półpełny	180°
pełny	360°

Kąt ostry jest to kąt o mierze stopniowej mniejszej niż 90°.

Kąt rozwarty jest to kąt o mierze stopniowej większej niż 90° i mniejszej niż 180°.

Jeden stopień miary stopniowej kąta dzieli się na 60 minut (oznaczenie: 60'), a każda minuta dzieli się na 60 sekund (oznaczenie: 60'').

Posługujemy się także inną — miarą łukową kąta.

Miara łukowa kąta

Dany jest dowolny kąt nieskierowany na płaszczyźnie oraz okrąg o promieniu \(r\) i środku w wierzchołku tego kąta. Częścią wspólną tego okręgu i obszaru kąta jest łuk \(l\).

Definicja

Łukowa miara kąta \(=\frac{l}{r}\)

Nie ma znaczenia, jaki promień zatoczymy z wierzchołka kąta. Miara łukowa dla danego kąta jest zawsze taka sama.

miara łukowa kąta

Dla kąta przedstawionego na rysunku mamy więc: \(\frac{l}{r}=\frac{L}{R}\).

Radian

Radian jest to kąt, którego miara łukowa jest równa 1.

Zatem inaczej mówiąc, radian jest to kąt, w którym długość łuku jest równa długości promienia.

radian

Jeden radian oznaczamy czasem symbolem \(rad\), jednak możemy ten zapis pomijać, gdyż wymiar miary łukowej kąta to \(\frac{cm}{cm}\).

Twierdzenie

Kąt pełny ma miarę łukową \(2\pi\).

\(2\pi\ rad=360°\)

\(1\ rad=\frac{360°}{2\pi}=57°17'45''\)

Poniżej przedstawiamy sposób, w jaki obliczamy miarę łukową dowolnego kąta.

Kąt pełny ma miarę łukową równą \(2\pi\).
Miara łukowa kąta jest proporcjonalna do kąta.

Przykład 1

Dany jest kąt \(45°\). Wyznaczymy jego miarę łukową:

Układamy proporcję:

\(360°—2\pi\)

\(45°—x\)

\(360°\cdot x = 2\pi\cdot 45°/:360°\)

\( x=\frac{2\cdot 45°}{360°}\pi\)

\(x=\frac{90°}{360°}\pi\)

\( x=\frac{1}{4}\pi\)

\( x=\frac{\pi}{4}\)

Przykład 2

Dany jest kąt \(\frac{\pi}{3}\). Wyznaczymy jego miarę stopniową:

Układamy proporcję:

\(360°— 2\pi\)

\(x — \frac{\pi}{3}\)

\(360°\cdot \frac{\pi}{3}=2\pi\cdot x/:2\pi\)

\(\frac{360° \cdot \pi}{3\cdot 2\pi}\)

\(x=\frac{180°}{3}\)

\(x=60^o\)

Tabela miar kątów

Poniższa tabela zawiera miary najczęściej spotykanych kątów:

Miara stopniowa	Miara łukowa
360°	\(2\pi\)
270°	\(\frac{3}{2}\pi\)
180°	\(\pi\)
90°	\(\frac{\pi}{2}\)
60°	\(\frac{\pi}{3}\)
45°	\(\frac{\pi}{4}\)
30°	\(\frac{\pi}{6}\)
1°	\(\frac{\pi}{180}\)
1'	\(\frac{\pi}{180\cdot 60}\)
1''	\(\frac{\pi}{180\cdot 60\cdot 60}\)

Kalkulator rad to deg

Kalkulator
Przeliczanie miar kątów

Wpisz dane:

Zamień:

Miara kąta:

rad

Dokładność: miejsc po przecinku

Rozwiązanie:

Korzystamy z następującej zależności:
equation

Po przekształceniu otrzymujemy wzór:
equation

i korzystając z niego, obliczamy:
equation

Korzystamy z następującej zależności:
equation

Po przekształceniu otrzymujemy wzór: equation

i korzystając z niego, obliczamy: equation

Oprogramowanie: Natalia Okoń

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.