Miary kątów

Definicja

Każdemu kątowi przypisujemy pewną liczbę, zwaną miarą kąta, która spełnia następujące warunki:

• Kąt zerowy ma miarę 0.
• Kąt niezerowy ma miarę dodatnią.
• Miara sumy kątów równa jest sumie miar kątów.
• Miara kąta prostego jest dowolną, z góry ustaloną liczbą.

W definicji miary kąta jest mowa o sumie kątów. Jeżeli dwa kąty mają wspólne ramię i wierzchołek, ale ich wnętrza są rozłączne, to można utworzyć kąt, który nazwiemy sumą kątów, a którego obszarem jest suma obszarów danych kątów i którego wierzchołek jest wspólny tych kątów. Sumą tych kątów będziemy także nazywać każdy kąt przystający do nich. Jeżeli dwa kąty nie mają wspólnego wierzchołka i ramienia, to wówczas sumę tych kątów tworzymy tak, że przy jednym z ramion kąta odkładamy kąt przystający do drugiego kąta.

Miara stopniowa

Najczęściej posługujemy się miarą stopniową kąta. W mierze stopniowej kątowi prostemu przypisujemy liczbę 90, a kąt, którego miara jest równa 1, nazywamy stopniem i oznaczamy następująco: 1°.

Jeżeli dany jest kąt \(\angle{ABC}\), to jego miarę oznaczamy następująco: \(|\angle{ABC}|\). Jeżeli dany jest kąt \(\angle{\alpha}\), to jego miarę oznaczamy następująco: \(\alpha\).

Kąt ostry jest to kąt o mierze stopniowej mniejszej niż 90°.

Kąt rozwarty jest to kąt o mierze stopniowej większej niż 90° i mniejszej niż 180°.

Jeden stopień miary stopniowej kąta dzieli się na 60 minut (oznaczenie: 60'), a każda minuta dzieli się na 60 sekund (oznaczenie: 60'').

Posługujemy się także inną — miarą łukową kąta.

Miara łukowa kąta

Dany jest dowolny kąt nieskierowany na płaszczyźnie oraz okrąg o promieniu \(r\) i środku w wierzchołku tego kąta. Częścią wspólną tego okręgu i obszaru kąta jest łuk \(l\).

Definicja

Nie ma znaczenia, jaki promień zatoczymy z wierzchołka kąta. Miara łukowa dla danego kąta jest zawsze taka sama.

Dla kąta przedstawionego na rysunku mamy więc: \(\frac{l}{r}=\frac{L}{R}\).

Radian

Radian jest to kąt, którego miara łukowa jest równa 1.

Zatem inaczej mówiąc, radian jest to kąt, w którym długość łuku jest równa długości promienia.

Jeden radian oznaczamy czasem symbolem \(rad\), jednak możemy ten zapis pomijać, gdyż wymiar miary łukowej kąta to \(\frac{cm}{cm}\).

Twierdzenie

Kąt pełny ma miarę łukową \(2\pi\).

Poniżej przedstawiamy sposób, w jaki obliczamy miarę łukową dowolnego kąta.

• Kąt pełny ma miarę łukową równą \(2\pi\).
• Miara łukowa kąta jest proporcjonalna do kąta.

Przykład 1

Przykład 2

Tabela miar kątów

Poniższa tabela zawiera miary najczęściej spotykanych kątów:

Kalkulator rad to deg

Kalkulator
Przeliczanie miar kątów

Wpisz dane:

Zamień: radiany na stopnie stopnie na radiany

Miara kąta:

rad

°

Oblicz Dokładność: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 miejsc po przecinku

Rozwiązanie:

Korzystamy z następującej zależności:


Po przekształceniu otrzymujemy wzór:


i korzystając z niego, obliczamy:

Korzystamy z następującej zależności:


Po przekształceniu otrzymujemy wzór: i korzystając z niego, obliczamy: .

Oprogramowanie: Natalia Okoń

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Miara kąta

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest kąt 85°57'36''. Znaleźć jego miarę łukową.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyrazić w stopniach, minutach i sekundach kąt 23,255°.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dany jest kąt \(\frac{\pi}{8}\ rad\). Znaleźć jego miarę stopniową. Wynik wyrazić w stopniach i minutach.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Powiązane quizy

Kąty i ich miary — quiz

Liczba pytań: 15
Quiz szkolny
Średni wynik:
10.99 pkt / 73.27%
2024-01-22

Inne zagadnienia z tej lekcji

Kąt

Kąt skierowany

Dwusieczna kąta

© medianauka.pl, 2010-11-11, A-1012
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-11