Miary kątów
Definicja
Każdemu kątowi przypisujemy pewną liczbę, zwaną miarą kąta, która spełnia następujące warunki:
- Kąt zerowy ma miarę 0.
- Kąt niezerowy ma miarę dodatnią.
- Miara sumy kątów równa jest sumie miar kątów.
- Miara kąta prostego jest dowolną, z góry ustaloną liczbą.
W definicji miary kąta jest mowa o sumie kątów. Jeżeli dwa kąty mają wspólne ramię i wierzchołek, ale ich wnętrza są rozłączne, to można utworzyć kąt, który nazwiemy sumą kątów, a którego obszarem jest suma obszarów danych kątów i którego wierzchołek jest wspólny tych kątów. Sumą tych kątów będziemy także nazywać każdy kąt przystający do nich. Jeżeli dwa kąty nie mają wspólnego wierzchołka i ramienia, to wówczas sumę tych kątów tworzymy tak, że przy jednym z ramion kąta odkładamy kąt przystający do drugiego kąta.
Miara stopniowa
Najczęściej posługujemy się miarą stopniową kąta. W mierze stopniowej kątowi prostemu przypisujemy liczbę 90, a kąt, którego miara jest równa 1, nazywamy stopniem i oznaczamy następująco: 1°.
Jeżeli dany jest kąt \(\angle{ABC}\), to jego miarę oznaczamy następująco: \(|\angle{ABC}|\). Jeżeli dany jest kąt \(\angle{\alpha}\), to jego miarę oznaczamy następująco: \(\alpha\).
Kąt | miara |
---|---|
zerowy | 0° |
jednostkowy | 1° |
prosty | 90° |
półpełny | 180° |
pełny | 360° |
Kąt ostry jest to kąt o mierze stopniowej mniejszej niż 90°.
Kąt rozwarty jest to kąt o mierze stopniowej większej niż 90° i mniejszej niż 180°.
Jeden stopień miary stopniowej kąta dzieli się na 60 minut (oznaczenie: 60'), a każda minuta dzieli się na 60 sekund (oznaczenie: 60'').
Posługujemy się także inną — miarą łukową kąta.
Miara łukowa kąta
Dany jest dowolny kąt nieskierowany na płaszczyźnie oraz okrąg o promieniu \(r\) i środku w wierzchołku tego kąta. Częścią wspólną tego okręgu i obszaru kąta jest łuk \(l\).
Definicja
Nie ma znaczenia, jaki promień zatoczymy z wierzchołka kąta. Miara łukowa dla danego kąta jest zawsze taka sama.
Dla kąta przedstawionego na rysunku mamy więc: \(\frac{l}{r}=\frac{L}{R}\).
Radian
Radian jest to kąt, którego miara łukowa jest równa 1.
Zatem inaczej mówiąc, radian jest to kąt, w którym długość łuku jest równa długości promienia.
Jeden radian oznaczamy czasem symbolem \(rad\), jednak możemy ten zapis pomijać, gdyż wymiar miary łukowej kąta to \(\frac{cm}{cm}\).
Twierdzenie
Kąt pełny ma miarę łukową \(2\pi\).
Poniżej przedstawiamy sposób, w jaki obliczamy miarę łukową dowolnego kąta.
- Kąt pełny ma miarę łukową równą \(2\pi\).
- Miara łukowa kąta jest proporcjonalna do kąta.
Przykład 1
Dany jest kąt \(45°\). Wyznaczymy jego miarę łukową:
Układamy proporcję:
\(360°—2\pi\)
\(45°—x\)
\(360°\cdot x = 2\pi\cdot 45°/:360°\)
\( x=\frac{2\cdot 45°}{360°}\pi\)
\(x=\frac{90°}{360°}\pi\)
\( x=\frac{1}{4}\pi\)
\( x=\frac{\pi}{4}\)
Przykład 2
Dany jest kąt \(\frac{\pi}{3}\). Wyznaczymy jego miarę stopniową:
Układamy proporcję:
\(360°— 2\pi\)
\(x — \frac{\pi}{3}\)
\(360°\cdot \frac{\pi}{3}=2\pi\cdot x/:2\pi\)
\(\frac{360° \cdot \pi}{3\cdot 2\pi}\)
\(x=\frac{180°}{3}\)
\(x=60^o\)
Tabela miar kątów
Poniższa tabela zawiera miary najczęściej spotykanych kątów:
Miara stopniowa | Miara łukowa |
---|---|
360° | \(2\pi\) |
270° | \(\frac{3}{2}\pi\) |
180° | \(\pi\) |
90° | \(\frac{\pi}{2}\) |
60° | \(\frac{\pi}{3}\) |
45° | \(\frac{\pi}{4}\) |
30° | \(\frac{\pi}{6}\) |
1° | \(\frac{\pi}{180}\) |
1' | \(\frac{\pi}{180\cdot 60}\) |
1'' | \(\frac{\pi}{180\cdot 60\cdot 60}\) |
Kalkulator rad to deg
Przeliczanie miar kątów
Wpisz dane:
rad
Po przekształceniu otrzymujemy wzór:
i korzystając z niego, obliczamy:
Po przekształceniu otrzymujemy wzór: i korzystając z niego, obliczamy: .
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 3.
Dany jest kąt \(\frac{\pi}{8}\ rad\). Znaleźć jego miarę stopniową. Wynik wyrazić w stopniach i minutach.
Powiązane quizy
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2010-11-11, A-1012
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-11