Nierówność kwadratowa z dwiema niewiadomymi

Każdą z nierówności

$a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f < 0$

$a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f > 0$

$a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f \leq 0$

$a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f \geq 0$

gdzie $a, b, c, d, e, f$ są dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb $a, b, c$ jest różna od zera, a $x, y$ - są zmiennymi, nazywamy nierównością drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykłady

Przykłady nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

$2 x y + 4 y + 6 \geq 0$
$x^{2} - y^{2} + x y + x + y + 1 > 0$
$\frac{4 x - y}{12} - \sqrt{7} x^{2} \leq \sqrt{3} y^{2} - 1$

Definicja

Każdą parę liczb $(m, n)$ , która spełnia nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do nierówności $m$ za $x$ oraz $n$ za $y$ daje nierówność prawdziwą), nazywamy rozwiązaniem tej nierówności.

Przykład

Dana jest nierówność $x^{2} - x y > 0$ . Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają tę nierówność. Są to dla przykładu: (1,-1), (-1,1), (10,3) itd.

Interpretacja geometryczna

Interpretacją geometryczną w układzie współrzędnych nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest figura geometryczna płaska wyznaczona przez wykres równania $a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f = 0$ .

Wykres dzieli płaszczyznę dwie części. Ta, która jest wykresem nierówności, zależy od znaku nierówności. Jeżeli nierówność jest ostra, do wykresu nierówności nie zalicza się samego wykresu, w przypadku nieostrej nierówności — wykres należy do wykresu nierówności razem z pozostałą częścią.

Przykład

Rozwiązać nierówność $4 x^{2} - 2 y - 8 > 0$ .

Powyższą nierówność można rozwiązać graficznie. Przekształćmy ją.

$4 x^{2} - 2 y - 8 > 0$

$- 2 y > - 4 x^{2} + 8 / : (- 2)$

$y < 2 x^{2} - 4$

$y < 2 (x^{2} - 4)$

$y < 2 (x - 2) (x + 2)$

Mamy więc do czynienia z parabolą. Są dwa miejsca zerowe: -2 i 2. Obliczmy jeszcze współrzędne wierzchołka paraboli:

$Δ = b^{2} - 4 a c = 32$ .

Zatem:

$x_{w} = - \frac{b}{2 a} = 0$

$y_{w} = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{32}{8} = - 4$

Wykreślamy zatem w układzie współrzędnych parabolę o równaniu $y = 2 x^{2} - 4$ i zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność, zaznaczając, że krzywa też należy do wykresu tej nierówności.