Nierówności kwadratowe

\(ax^2+bx+c<0\)
\(ax^2+bx+c>0\)
\(ax^2+bx+c\leq{0}\)
\(ax^2+bx+c\geq{0}\)

gdzie \(a\neq{0}\), \(b, c\) — są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy nierównością kwadratową lub nierównością drugiego stopnia.

Przykłady

Oto przykłady nierówności kwadratowych:

\(-x^2-2x+5<0\)
\(5x^2+3\leq{0}\)
\(-3x^2-x\geq{0}\)
\(x^>0\)

Poniższe przykłady również dotyczą nierówności kwadratowych, gdyż można je przekształcić do postaci ogólnej.

\(2x(x-1)<0\)
\((x-1)(x+1)\leq{0}\)
\(-\frac{x}{2}(3x+\sqrt{7})\geq{0}\)

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych

Rozwiązywanie nierówności kwadratowej najłatwiej oprzeć o wykresy zmienności trójmianu kwadratowego. Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika \(a\) oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie.

wykres trójmianu kwadraowego

Przypomnijmy sobie jeszcze tylko oznaczenia i najważniejsze wzory.

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_0=-\frac{b}{2a}\)

Skorzystajmy zatem z powyższych informacji przy rozwiązywaniu prostych nierówności.

Zadanie 1

Rozwiązać nierówność kwadratową \(x^2+3x-4<0\).

\(a=1, b=3, c=-4\)

Obliczamy wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot(-4)=9+16=25\).

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

\(\sqrt{\Delta}=5\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\)

\({x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1}\)

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik \(a\) również, więc wykres trójmianu przecina oś \(Ox\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na trzeci wykres na powyższym rysunku). Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału \((x_1;x_2)\) — nierówność jest ostra, więc przedział jest otwarty.

Warto zawsze naszkicować schemat wykresu, z którego odczytujemy rozwiązanie.

wykres

Odpowiedź: \(x\in(-4;1)\)

Zadanie 2

Rozwiązać nierówności kwadratowe:

\(-x^2+6x-9>0\)

\(-x^2+6x-9<0\)

\(-x^2+6x-9\geq{0}\)

\(-x^2+6x-9\leq{0}\)

\(a=-1, b=6, c=-9\)

Obliczamy wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-9)=36-36=0\).

Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma jeden podwójny pierwiastek, współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Z wykresu odczytamy więc rozwiązania wszystkich nierówności.

\(x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3\)

wykres

W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9>0\) żaden punkt wykresu nie leży nad osią OX, nierówność więc nie ma rozwiązania — jest sprzeczna.
W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9<0\) wszystkie punkty wykresu z wyjątkiem \((3,0)\) leżą pod osią \(Ox\), rozwiązaniem nierówności jest zbiór \((-\infty;3)\cup(3;\infty)\).
W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9\geq{0}\) tylko jedna liczba spełnia tę nierówność: \(x_0=3\).
W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9\leq{0}\) wszystkie punkty wykresu leżą pod lub na osi \(Ox\), więc rozwiązaniem nierówności jest zbiór \(\mathbb{R}\) (nierówność jest tożsamościowa).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.