Nierówność wykładnicza

Nierówność wykładnicza to taka nierówność, w której niewiadoma jest w wykładniku potęgi.

Przykłady

Poniżej kilka przykładów nierówności wykładniczych.

\(2^x>3\)
\((\frac{1}{7})^x<2\)
\(5^{x^2-3x+1}\geq{2}\)

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej.

Jeżeli podstawa potęgi a>1, to funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.

\(a^x<a^y\Leftrightarrow{x<y}\)

Przykład

Rozwiązać nierówność \(2^x\leq{8}\).

Liczbę 8 należy wyrazić poprzez potęgę o podstawie \(2\) (\(8=2^3\)). Ponieważ podstawa potęg jest większa od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, bez konieczności zmiany zwrotu nierówności.

\(2^x\leq{8}\)

\(2^x\leq{2^3}\)

\(x\leq{3}\)

Jest to rozwiązanie naszej nierówności.

Odpowiedź: \(x\in(-\infty;3\rangle\).

Jeżeli podstawa potęgi \(0<a<1\), to funkcja wykładnicza jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie (coraz większym argumentom odpowiadają coraz mniejsze wartości funkcji).

\(a^x<a^y\Leftrightarrow{x>y}\)

Przykład

Rozwiązać nierówność \((\frac{1}{2})^{x}\leq{1}\).

Liczbę 0 należy wyrazić poprzez potęgę o podstawie \(frac{1}{2}, czyli \(1=(\frac{1}{2})^0\). Ponieważ podstawa potęg jest mniejsza od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, ale wymagana jest zmiana zwrotu nierówności.

\((\frac{1}{2})^{x}\leq{1}\)

\((\frac{1}{2})^{x}\leq(\frac{1}{2})^{0}\)

\(x\geq{0}\)

Odpowiedź: \(x\in{\langle{0};+\infty)}\).

W osobnym artykule pokazujemy jak rozwiązujemy nierówności logarytmiczne oraz równania wykładnicze.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.