Nierówności kwadratowe
Każdą nierówność w postaci:
- \(ax^2+bx+c<0\)
- \(ax^2+bx+c>0\)
- \(ax^2+bx+c\leq{0}\)
- \(ax^2+bx+c\geq{0}\)
gdzie \(a\neq{0}\), \(b, c\) — są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy nierównością kwadratową lub nierównością drugiego stopnia.
Przykłady
Oto przykłady nierówności kwadratowych:
- \(-x^2-2x+5<0\)
- \(5x^2+3\leq{0}\)
- \(-3x^2-x\geq{0}\)
- \(x^>0\)
Poniższe przykłady również dotyczą nierówności kwadratowych, gdyż można je przekształcić do postaci ogólnej.
- \(2x(x-1)<0\)
- \((x-1)(x+1)\leq{0}\)
- \(-\frac{x}{2}(3x+\sqrt{7})\geq{0}\)
Rozwiązywanie nierówności kwadratowych
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej najłatwiej oprzeć o wykresy zmienności trójmianu kwadratowego. Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika \(a\) oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie.
Przypomnijmy sobie jeszcze tylko oznaczenia i najważniejsze wzory.
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_0=-\frac{b}{2a}\)
Skorzystajmy zatem z powyższych informacji przy rozwiązywaniu prostych nierówności.
Zadanie 1
Rozwiązać nierówność kwadratową \(x^2+3x-4<0\).
\(a=1, b=3, c=-4\)
Obliczamy wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot(-4)=9+16=25\).
Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.
\(\sqrt{\Delta}=5\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\)
\({x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1}\)
Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik \(a\) również, więc wykres trójmianu przecina oś \(Ox\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na trzeci wykres na powyższym rysunku). Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału \((x_1;x_2)\) — nierówność jest ostra, więc przedział jest otwarty.
Warto zawsze naszkicować schemat wykresu, z którego odczytujemy rozwiązanie.
Odpowiedź: \(x\in(-4;1)\)
Zadanie 2
Rozwiązać nierówności kwadratowe:
\(-x^2+6x-9>0\)
\(-x^2+6x-9<0\)
\(-x^2+6x-9\geq{0}\)
\(-x^2+6x-9\leq{0}\)
\(a=-1, b=6, c=-9\)
Obliczamy wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-9)=36-36=0\).
Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma jeden podwójny pierwiastek, współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Z wykresu odczytamy więc rozwiązania wszystkich nierówności.
\(x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3\)
- W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9>0\) żaden punkt wykresu nie leży nad osią OX, nierówność więc nie ma rozwiązania — jest sprzeczna.
- W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9<0\) wszystkie punkty wykresu z wyjątkiem \((3,0)\) leżą pod osią \(Ox\), rozwiązaniem nierówności jest zbiór \((-\infty;3)\cup(3;\infty)\).
- W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9\geq{0}\) tylko jedna liczba spełnia tę nierówność: \(x_0=3\).
- W przypadku nierówności \(-x^2+6x-9\leq{0}\) wszystkie punkty wykresu leżą pod lub na osi \(Ox\), więc rozwiązaniem nierówności jest zbiór \(\mathbb{R}\) (nierówność jest tożsamościowa).
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-08-15, A-275
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-07