Nierówności logarytmiczne
Nierówność logarytmiczna to taka nierówność, w której niewiadoma jest w podstawie logarytmu lub pod znakiem logarytmu.
Przykłady
Poniżej kilka przykładów nierówności logarytmicznych.
- \(\log_{x}{5}>3\)
- \(\log_{5}{x}<3\)
- \(\log_{\frac{x}{2}}{x}\geq{2}\)
Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych
Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych wymaga najpierw określenia dziedziny nierówności, czyli wszystkich wartości \(x\), dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Rozwiązań szukamy w tym właśnie zbiorze.
Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej.
Jeżeli podstawa logarytmu \(a>1\), to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.
Przykład 1
Rozwiąż nierówność logarytmiczną \(\log_{2}{x}\leq{4}\).
Najpierw określamy dziedzinę nierówności. Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek \(x>0\).
Teraz liczbę 4 należy wyrazić poprzez logarytm o podstawie 2 (\(4=\log_2{16}\)) i ponieważ podstawa logarytmów jest większa od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, bez konieczności zmiany zwrotu nierówności.
\(\log_{2}{x}\leq{4}\)
\(\log_{2}{x}\leq \log_{2}{16}\)
\(x\leq{16}\)
Zaznaczamy na osi liczbowej dziedzinę nierówności oraz otrzymany wynik i wyznaczamy część wspólną zbiorów. Jest to rozwiązanie naszej nierówności.
Odpowiedź: \(x\in(0;16\rangle\)
Jeżeli podstawa logarytmu \(0<a<1\), to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie.
Przykład 2
Rozwiązać nierówność \(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{0}\).
Określamy dziedzinę nierówności. Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek \(x>0\).
Teraz liczbę 0 należy wyrazić poprzez logarytm o podstawie \(\frac{1}{2}\) (\(0=\log_{\frac{1}{2}}1\)) i ponieważ podstawa logarytmów jest mniejsza od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, ale wymagana jest zmiana zwrotu nierówności.
\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{0}\)
\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leq{\log_{\frac{1}{2}}{1}}\)
\(x\geq{1}\)
Wszystkie rozwiązania należą do dziedziny nierówności.
Odpowiedź: \(x\in \langle 1;+\infty)\).
W osobnym artykule pokazujemy jak rozwiązujemy równania logarytmiczne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2023-05-09, A-433