Objętość

Co to jest objętość brył? Oto definicja objętości:

Objętość figury jest to funkcja, która każdej figurze z pewnego zbioru figur przyporządkowuje liczbę nieujemną \(V(f)\), którą nazywamy objętością figury \(f\). Funkcja ta określona jest tak, że:

Figury przystające mają przystające objętości.
Figura będąca sumą dwóch figur, które nie mają wewnętrznych punktów wspólnych, ma objętość równą sumie objętości figur składowych.

Wzory na objętość brył

Jak obliczyć objętość danej figury geometrycznej przestrzennej? Najczęściej obliczanie objętości sprowadza się do zastosowania odpowiedniego wzoru. W poniższej tabeli zawarto podstawowe wzory na objętość brył:

Tablica objętości brył
Poniższa tabela zawiera wzory na objętość brył, najczęściej wykorzystywane w kursie matematyki.

Bryła	Rysunek	Wzór na objętość
Sześcian		\(V=a^3\)
Prostopadłościan		\(V=abc\)
Dowolny graniastosłup prosty i pochyły		\(V=P_p\cdot h\) \(P_p\) — pole podstawy, \(h\) — wysokość.
Czworościan foremny		\(V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}\)
Dowolny ostrosłup prosty lub pochyły		\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot h\)
Piramida		\(V=\frac{a^2h}{3}\)
Ostrosłup ścięty		\(V=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)\)
Ośmiościan foremny		\(V=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\)
Dwunastościan foremny		\(V=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})\)
Dwudziestościan foremny		\(V=\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})\)
Walec		\(V=\pi r^2h\)
Stożek		\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
Kula		\(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)

Jednostka objętości

Jeżeli odcinek \(\overline{u}\) jest jednostką długości, to sześcian o krawędzi \(\overline{u}\) nazywamy jednostką objętości i oznaczamy \(\overline{u}^3\).

Przykład

Jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy metr (\(m\)), to jednostką objętości będzie metr sześcienny (\(m^3\)), jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy decymetr (\(dm\)), to jednostką objętości będzie decymetr sześcienny (\(dm^3\)) itd.

Oto jednostki objętości dawne i obecnie stosowane.

Metr sześcienny

W układzie SI legalną jednostką objętości jest metr sześcienny (\(m^3\)). Stosując różne przedrostki, otrzymujemy centymetry sześcienne, decymetry sześcienne itd.

Litr

Pozaukładową jednostką jest litr, którą oznaczamy przez \(l\) (mała litera). Przelicznik litra na jednostki układu SI jest następujący:

\(1\ l = 1\ dm^3 = \frac{1}{1000}\ m^3\)

Litr jest to objętość, jaką zajmuje 1 kg destylowanej wody w odpowiednich warunkach.

Anglosaskie jednostki objętości

W krajach anglosaskich stosuje się następujące jednostki objętości:

cal sześcienny,
stopa sześcienna,
jard sześcienny.

Dawne miary objętości

Oto przykładowe dawne miary objętości:

korzec — 128 litrów,
kwaterka — \(\frac{1}{4}\) litra,
kwarta — 1 litr.

Przeliczanie jednostek objętości

W naszym kalkulatorze możesz w prosty sposób przeliczyć dane objętości między różnymi układami jednostek.

KALKULATOR

Przeliczanie jednostek objętości.

Zasada Cavalierego

Jeżeli dwie bryły zawarte między dwoma równoległymi płaszczyznami mają własność, że ich przekroje dowolną płaszczyzną równoległą do poprzednich dwóch płaszczyzn mają równe pola, to bryły te mają równe objętości (patrz rysunek).

Zasada Cavalierego

Własności objętości

Każda figura płaska (zawarta w płaszczyźnie) ma objętość równą 0.
Każda powierzchnia wielościanu ma objętość równą 0.
Każda sfera i jej część ma objętość równą 0.
Każda powierzchnia stożkowa i jej część ma objętość równą 0.
Podobieństwo w skali \(s\) zmienia objętość figury w skali \(s^3\).

Ciekawostki — przykładowe objętości

W Poniższej tabeli wyszczególniono przykładowe wartości objętości.

Objętość obiektu	V [\(m^3\)]
Wszechświat (obserwowalny)	Około \(10^{79}\)
Objętość Słońca	\(1,41\cdot 10^{27}\)
Objętość Ziemi	\(1,08\cdot 10^{21}\)
Objętość wieloryba	Maksymalnie \(200\)
Objętość płuc człowieka	\(0,003-0,007\) (\(3-7\) litrów)
Objętość ludzkiej krwi	\(0,0035-0,006\) (od \(3,5\) do \(6\) litrów)
Objętość komórki bakterii	\(10^{-18}-10^{-16}\)
Objętość jądra atomu tlenu	\(5\cdot 10^{-44}\)

Zadania

Zadania z obliczania objętości znajdziesz w sekcji poświęconej poszczególnym bryłom.

Pytania

Jak obliczyć objętość?

Najczęściej korzystamy z powyższych wzorów. Jeżeli jednak bryłą ma skomplikowany kształt, spróbuj ją podzielić na bryły, których objętość można policzyć i dodaj do siebie tak wyznaczone objętości. W praktyce objętość bryły o nieregularnych kształtach można wyznaczyć, zanurzając ją w wodzie i obliczeniu objętości wypartej w ten sposób wody.

Jak obliczyć objętość prostokąta?

Prostokąt nie jest bryłą. Ma zerową objętość.