Obrót

Co to jest obrót w geometrii? Oto definicja.

Obrót płaszczyzny dookoła punktu \(O\) o kąt skierowany \(\angle{\vec{\alpha}}\) (nazywanym kątem obrotu) jest to przekształcenie płaszczyzny, w którym punktowi \(O\) przyporządkowujemy punkt \(O\), punktowi \(A\), który jest różny od punktu \(O\), taki punkt \(A'\), że \(|OA|=|OA'|\). Punkt \(O\) nazywamy środkiem obrotu.

Animacja

Animacja


Obrót

Przykład

Na poniższym rysunku został pokazany obrót pewnej figury dookoła punktu \(O\) o kąt skierowany prosty.

Obrót

Twierdzenie

Złożenie symetrii osiowych \(S_bS_a\) względem prostych \(a\) i \(b\) przecinających się w punkcie \(O\) pod kątem skierowanym \(\angle{\vec{\alpha}}\), którego wierzchołek jest punktem \(O\), pierwsze ramię leży na prostej \(a\), drugie ramię leży na prostej \(b\) jest obrotem płaszczyzny dookoła punktu \(O\)> o kąt 2\(\angle{\vec{\alpha}}\).

Obrót jako złożenie symetrii osiowych

Obrót wokół początku układu współrzędnych — wzory

A oto ujęcie analityczne obrotu na płaszczyźnie.

W obrocie dookoła punktu \(O\) (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany \(\angle{\vec{\alpha}}\) obrazem pewnego punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}\)

\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}\)

oraz

\(x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha}\)

\(y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}\)

Przykład

Znajdziemy równanie prostej \(y=x+1\) w obrocie o kąt 90°.

Wiemy, że \(\sin{90°}=1\) oraz \(\cos{90°}=0\). Mamy więc:

\(y=x+1\)

\(-x'\sin{90^o} + y'\cos{90^o} = x'\cos{90^o}+y'\sin{90^o}+1\)

\(-x'\cdot 1+0=0+y'\cdot 1+1\)

\(y'=-x'-1\)

Zatem obrazem prostej \(y=x+1\) w obrocie wokół początku układu współrzędnych o kąt prosty jest prosta \(y=-x-1\).



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz punktu \(P=(2,4)\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(30°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz krzywej \(y=x^3\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(90°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Znaleźć obraz prostej \(y=-2x+6\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(60°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz wykresu funkcji \(y=|x|\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(45°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-11-29, A-1035
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-17



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.