Odcinek

odcinek

Definicja

Odcinek \(\overline{AB}\) jest to zbiór punktów, leżących na prostej między punktami \(A\) i \(B\) wraz z punktami \(A\) i \(B\).

Punkty \(A\) i \(B\) nazywamy końcami odcinka.

Jeżeli punkty \(A=B\) to odcinek \(\overline{AB}\) nazywamy zerowym.

Twierdzenie

\(X\in \overline{AB}\Leftrightarrow |AX|+|XB|=|AB|\)

Powyższe zdanie logiczne możemy przeczytać następująco: punkt \(X\) należy do odcinka \(\overline{AB}\) wtedy i tylko wtedy, gdy suma odległości między punktami \(A, X\) oraz \(X, B\) jest równa odległości między punktami \(A\) i \(B\).

Długość odcinka

Odległość \(|AB|\) będziemy nazywać długością odcinka. Zatem długość odcinka jest to odległość między jego końcami. Długość odcinka zerowego jest równa 0.

Odcinki nazywamy równymi, jeżeli mają taką samą długość.

Często zdarza się, że odcinki oznaczamy jedną literą. Stosujemy wówczas małe litery, np. \(\overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c}\). W takim przypadku długość odcinka oznaczamy odpowiednio: \(|a|, |b|, |c|\) lub po prostu \(a, b, c\).

Twierdzenie Aksjomat

Na każdej półprostej leży dokładnie jeden punkt, którego odległość od początku tej półprostej równa się danej liczbie nieujemnej.

odkładanie odcinka

Tłumacząc to sformułowanie, można powiedzieć, że na każdej półprostej można odłożyć odcinek równy danemu odcinkowi, albo inaczej: istnieją odcinki o dowolnej długości.

Co to znaczy odłożyć odcinek na prostej lub półprostej od punktu \(O\)? To znaczy wyznaczyć na tej prostej taki punkt \(X\), którego odległość od punktu \(O\) jest równa długości tego odcinka. Odkładanie odcinka zostało zilustrowane rysunkiem obok.

Poniżej przedstawiono przykład konstrukcji odcinka:

Zadanie

Skonstruuj odcinek o długości \(1,5\), jeśli \(|PQ|=1\).

Film

Odpowiedź jest zilustrowana filmem:


Wzór na długość odcinka

Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka \(A=(x_A,y_A), \ B=(x_B, y_B)\) i obliczamy ją ze wzoru:

\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

długość odcinka w układzie współrzędnych

Przykład

Dane są punkty: \(A=(1,2), B=(-1,4)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(|AB|=\sqrt{(-1-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

Wzór na środek odcinka

Jeżeli końce odcinka \(\overline{AB}\) mają współrzędne: \(A=(x_A,y_A), \ B=(x_B, y_B)\), to współrzędne środka odcinka i obliczamy ją ze wzoru:

\(x_s=\frac{x_A+x_B}{2},\quad{}y_s=\frac{y_A+y_B}{2}\)

Powyższy wzór na środek odcinka wykorzystamy w poniższym przykładzie zadania:

długość odcinka w układzie współrzędnych

Przykład

Dane są punkty: \(A=(1,2), B=(-1,4)\). Obliczyć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(x_S=\frac{1-1}{2}=0,\quad{}y_S=\frac{2+4}{2}=3\)

\(S=(0,3)\)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Dane są punkty \(A=(-3,-2), B=(2, -2)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Dany jest punkt \(A=(1,4)\). Znaleźć taki punkt \(B\), że \(|\overline{AB}|=1\) i który leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Dany jest odcinek o końcach \(A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)\). Znaleźć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty \(A=(0,0), B=(1,2), C=(3,1), D=(2,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:

A. \(a=5\) i \(b=5\)

B. \(a=-1\) i \(b=2\)

C. \(a=4\) i \(b=10\)

D. \(a=-4\) i \(b=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa

A. \(12\)

B. \(6\)

C. \(6\sqrt{2}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Punkt B jest obrazem punktu \(A=(−3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

A. \(2\sqrt{34}\)

B. \(8\)

C. \(\sqrt{34}\)

D. \(12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Punkty \(K=(4,−10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa (−12). Wynika stąd, że

A. \(b=-28\)

B. \(b=-14\)

C. \(b=-24\)

D. \(b=-10\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13.

Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-10-19, A-982
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-22



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.