Odległość między punktami

W niniejszym artykule omówimy pojęcie odległości punktów, odległości punktu od prostej i figury geometrycznej.

Odległość punktów

Aksjomat o odległości.

Każdym dwóm punktom \(A\) i \(B\) można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów.

Odległość oznaczamy następująco: \(|AB|\) lub \(|BA|\).

Odległość punktu od punktu musi spełniać łącznie następujące warunki:

Jednostka odległości

Wartość liczbowa odległości punktów zależy od tego, jaką odległość dwóch punktów przyjmiemy za jednostkę.

odlegość punktów

Jeżeli za jednostkę przyjmiemy odległość między dwoma punktami \(A\) i \(B\) (odległość między tymi punktami wynosi 1), to odległość punktów \(C\) i \(D\) wynosi 2, a sposób ich konstrukcji pokazano na powyższym rysunku.

Odległość między punktami w układzie współrzędnych

Odległość między punktami w układzie współrzędnych

Odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) obliczamy ze wzoru:

\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Wzór na odległość między punktami wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

To tak zwana odległość euklidesowa.

Powyższy wzór w prosty sposób pozwala obliczyć odległość między dwoma punktami, gdy dane są jego współrzędne, co ilustrujemy poniższym przykładem.

Przykład

Dane są punkty: \(A=(1,2), B=(-1,4)\). Obliczyć odległość między tymi punktami.

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(|AB|=\sqrt{(-1-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

Odległość punktu od prostej

odległość punktu od prostej

Wzór na odległość punktu od prostej

Odległość punktu \(P=(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\) wyrażona jest wzorem:

\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

Zwykle nie mamy postaci prostej, jaka występuje we wzorze. Należy wówczas przekształcić (najczęściej) postać kierunkową prostej \(y=ax+b\) do postaci \(Ax+By+C=0\).

Powyższy wzór jest przydatny przy wyznaczaniu równań dwusiecznych kątów.

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.

odległość punktu od prostej


Odległość punktu od figury

Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury.

Animacja

Animacja




Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8.

Oblicz odległość punktu \(P=(-1,1)\) od prostej \(y=2x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-10-10, A-974
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-21



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.