Pochodna a monotoniczność funkcji

Istnieje związek pomiędzy pochodną funkcji a jej monotonicznością. Określają je następujące twierdzenia:

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest określona i różniczkowalna w przedziale \((a,b)\) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest w przedziale \((a,b)\) różniczkowalna i rosnąca, to \(f'(x)\geq 0\), dla każdego \(x\in(a,b)\).

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest określona i różniczkowalna w przedziale \((a,b)\) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału ujemna z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest w przedziale \((a,b)\) różniczkowalna i malejąca, to \(f'(x)\leq 0\), dla każdego \(x\in(a,b)\).

Podsumowanie

Warto zapamiętać, że:

Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest różniczkowalna w przedziale \((a,b)\), czyli ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału oraz:

\(\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)=0\), to funkcja jest stała w tym przedziale.
\(\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)>0\), to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
\(\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)<0\), to funkcja jest malejąca w tym przedziale.

Mówiąc krótko, aby sprawdzić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca w danym przedziale, należy zbadać znak pochodnej. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład

Wyznaczymy przedziały monotoniczności (czyli przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała) funkcji \(f(x)=x^2\)/.

Obliczamy pochodną funkcji \(f(x)\):

\(f'(x)=(x^2)'=2x\)

Badamy, kiedy pochodna jest dodatnia:

\(f'(x)>0\Leftrightarrow 2x>0 \Leftrightarrow x>0\)

Badamy, kiedy pochodna jest ujemna:

\(f'(x)<0\Leftrightarrow 2x<0 \Leftrightarrow x<0\)

Wiemy więc, że dla \(x>0\) funkcja jest rosnąca, natomiast dla \(x<0\) funkcja jest malejąca.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.