Pochodna w zadaniach z treścią

Który z trójkątów równoramiennych o obwodzie równym \(S=4\) ma największe pole powierzchni?

Wprowadzamy oznaczenia:

\(P\) — pole powierzchni,
\(h\) — wysokość trójkąta,
\(a\) — podstawa trójkąta,
\(b\) — długość ramion trójkąta,
\(S=4\) — obwód trójkąta.

Szukamy największego pola powierzchni, które w przypadku trójkąta wyraża się wzorem \(P=\frac{1}{2}ah\).

Nie możemy skorzystać jeszcze z wiadomości o ekstremum funkcji, ponieważ powyższy wzór się do tego nie nadaje. Mamy bowiem pole powierzchni \(P\) uzależnione od zmiennej \(a\) oraz \(h\). Skorzystajmy zatem z tego, że dany jest obwód trójkąta:

\(S=4=2b+a\)

Stąd możemy a wyrazić poprzez inną zmienną (będzie wygodniej):

\(a=4-2b\)

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy napisać:

\(h^2+(\frac{1}{2}a)^2=b^2\)

\(h^2=b^2-\frac{1}{4}a^2\)

Długość \(a\) wyznaczyliśmy nieco wcześniej, więc wstawiamy ją do powyższego wzoru:

\(h^2=b^2-\frac{1}{4}(4-2b)^2=b^2-\frac{1}{4}(16-16b+4b^2)=b^2-4+4b-b^2=4b-4=4(b-1)\)

\(h=\sqrt{4(b-1)}=2\sqrt{b-1}\)

Wstawiamy wyliczoną wartość \(a\) oraz \(h\) do wzoru na pole trójkąta:

\(P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}(4-2b)\cdot 2\sqrt{b-1}\)

\(P=(4-2b)\sqrt{b-1}\)

Ponieważ pole powierzchni trójkąta jest teraz funkcją jednej zmiennej, możemy szukać ekstremum funkcji. Szukamy go w miejscach, w których pochodna jest równa zeru. Obliczamy więc pochodną funkcji \(P(b)\) — jest to pochodna iloczynu funkcji:

\(P'=[(4-2b)\sqrt{b-1}]'=(4-2b)'\sqrt{b-1}+(4-2b)(\sqrt{b-1})'=-2\sqrt{b-1}+(4-2b)\cdot \frac{1}{2\sqrt{b-1}}=\)

\( =-2\sqrt{b-1}+\cancel{2}(2-b)\frac{1}{\cancel{2}\sqrt{b-1}}=\frac{-2\sqrt{b-1}\cdot \sqrt{b-1}}{\sqrt{b-1}}+\frac{2-b}{\sqrt{b-1}}=\frac{-2(b-1)+2-b}{\sqrt{b-1}}=\frac{4-3b}{\sqrt{b-1}}\)

Szukamy ekstremum w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru:

\(P'=0\Leftrightarrow \frac{4-3b}{\sqrt{b-1}}=0\)

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem.

\(4-3b=0\)

\(3b=4/:3\)

\(b=\frac{4}{3}\)

Gdy \(b=\frac{4}{3}\) pole powierzchni osiąga maksimum lub minimum. Zauważamy, że dla \(b\) mniejszych od \(\frac{4}{3}\) pochodna przyjmuje dodatnie wartości, natomiast dla pozostałych — wartości ujemne. Pochodna przechodzi więc przez punkt \(\frac{4}{3}\) ze znaku dodatniego w ujemny — osiąga więc w tym punkcie maksimum.

Obliczmy jeszcze długość podstawy \(a\):

\(a=4-2b=4-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}\)

Obliczymy teraz pole \(P\):

\(P=(4-3b)\sqrt{b-1}=(4-2\cdot \frac{4}{3})\sqrt{\frac{4}{3}-1}= (\frac{12}{3}-\frac{8}{3})\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}\)

Odpowiedź: Pole trójkąta o obwodzie \(S=4\) jest największe, gdy wszystkie jego boki są równe i mają długość \(\frac{4}{3}\).