Pochodna funkcji złożonej

W niniejszym artykule zajmiemy się pochodną funkcji złożonej. Gdy poznasz zasady obliczania pochodnej takich funkcji, będziesz umiał obliczyć pochodną prawie każdej funkcji, z jakimi się spotkasz w szkole.

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Jeśli funkcja \(h\) jest złożeniem funkcji \(f\) z funkcją \(g\) i funkcja \(f\) jest różniczkowalna w punkcie \(x\), natomiast funkcja \(g\) jest różniczkowalna w punkcie \(y=f(x)\), to funkcja \(h\) jest różniczkowalna w punkcie \(x\), a pochodna funkcji \(h\) jest równa:

\(h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)

Można w skrócie powiedzieć, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. Argumentem funkcji zewnętrznej jest \(f(x)\).

Zilustrujemy powyższe twierdzenie prostym przykładem za pomocą animacji.

Animacja

Animacja


Pochodna funkcji złożonej

Jak obliczać pochodne funkcji złożonych? Oto przykład rozwiązany metodą przez podstawienie, a także w innym wariancie stosujemy bezpośrednio wzór na pochodną funkcji złożonej.

Przykład

Oblicz pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{\sin{x}}\).

Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest tutaj pierwiastek, funkcją wewnętrzną — sinus. Obliczamy w pamięci najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, a potem funkcji wewnętrznej. Pochodna funkcji złożonej stanowi iloczyn tych pochodnych.

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}\)

Alternatywne rozwiązanie

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, można stosować podstawienie.

\(f(x)=\sqrt{\sin{x}}\)

\(u=\sin{x}\\ f(u)=\sqrt{u}\)

\( u'=\cos{u}\)

\(f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\)

\( f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}\)



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{2x}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)

c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-09-13, A-903
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-16



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.