Podzbiory

Zawieranie się zbiorów

Jeżeli każdy element zbioru A należy do zbioru B, to mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B i oznaczamy: \(A\subset B\).

Zawieranie się zbioru A w zbiorze B można zilustrować tak jak na poniższym rysunku.

Przykłady

A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, \(A\subset B\), ponieważ elementy „1” i „2” zbioru A są elementami zbioru B. Zbiór B nie zawiera się w zbiorze A, bo element „3” nie jest elementem zbioru A. Przykład ten został przedstawiony na ilustracji.
Zbiór {a, g} zawiera się w zbiorze {a, h, g}.
Zbiór kwadratów zawiera się w zbiorze prostokątów, a zbiór prostokątów zawiera się w zbiorze czworokątów.

Podzbiór

Jeżeli \(A\subset B\), to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, a zbiór B nazywamy nadzbiorem zbioru A.

Z definicji zawierania się zbioru w zbiorze wynika, że:

\(\emptyset\) (zbiór pusty jest podzbiorem każdego innego zbioru).
\(A\subset A\) (zbiór A jest podzbiorem samego siebie).

Jeżeli zbiór A nie jest podzbiorem zbioru B, to możemy użyć zapisu \(A⊄A\).

Zadanie 1

Znaleźć wszystkie podzbiory zbioru A = {a, b, c}.

Rozwiązanie: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A, \(\emptyset\).

Zadanie 2

Wypisz wszystkie podzbiory zbioru A = {1, 2}.

Rozwiązanie: {1}, {2}, {1, 2}, \(\emptyset\).

Równość zbiorów

Zbiory A i B są równe i zapisujemy A = B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A.

Przykład

Dla przykładu zbiory {1,2} oraz {2,1} są równe, gdyż zawierają dokładnie takie same elementy (kolejność wypisywania elementów zbioru nie ma znaczenia).

Pytania

Jakie są podzbiory zbioru liczb rzeczywistych?

Takich podzbiorów jest nieskończenie wiele. Wyróżnia się jednak pewne istotne podzbiory takie, jak:

zbiór liczb naturalnych,
zbiór liczb całkowitych,
zbiór liczb wymiernych,
zbiór liczb niewymiernych.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.